求函数对偶（求函数对偶式和反函数）

1. 什么是对偶函数
2. 什么是对偶函数
3. 三角函数对偶式公式
4. 对偶单纯形法解题步骤

什么是对偶函数

对偶函数是指对于一个布尔代数表达式，其对偶表达式是一个新的布尔代数表达式，满足将原表达式中的 AND 和 OR 运算符替换成 OR 和 AND 运算符，并将所有变量的取反操作都取反。

你好，对偶函数是指满足以下条件的函数：

1. 对于定义域上的任意实数x，有f(x) + g(x) = c，其中c为常数。

2. 对于定义域上的任意实数x，有f(g(x)) = x。

其中，f和g互为对偶函数。对偶函数之间存在一种互逆的关系，通过对偶函数可以实现函数之间的互逆映射。

什么是对偶函数

1、对偶规则:对偶式--对于任意一个逻辑函数,若把式中的运算符“.”换成“+”,“+”换成“.”;常量“0”换成“1”,“1”换成“0”,所得的新函数式为原函数式F的对偶式F′,也称对偶函数。

三角函数对偶式公式

三角函数的对偶式（cofunction identities）是一组三角函数之间的关系，其中一个三角函数的值等于另一个三角函数在其余补角上的值。这些对偶式有助于简化三角函数的计算。

以下是常见的三角函数对偶式：

1. 正弦与余弦对偶：\(\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos(x)\)，\(\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)\)

2. 正切与余切对偶：\(\tan(\frac{\pi}{2} - x) = \cot(x)\)，\(\cot(\frac{\pi}{2} - x) = \tan(x)\)

3. 正割与余割对偶：\(\sec(\frac{\pi}{2} - x) = \csc(x)\)，\(\csc(\frac{\pi}{2} - x) = \sec(x)\)

这些对偶式基于三角函数的性质，有时可以用来简化复杂的三角函数表达式或方程。

对偶式就是与原式结构对称

或者与之结构相似的式子

并不一定是固定的

也未必需要cos变成sin

只要二者相似，并且组合在一起。

对偶单纯形法解题步骤

建立初始单纯形表,计算检验数行;

2.

基变化,先确定换出变量——解答列中的负元素(一般选最小的负元素)对应的基变量出基。然后确定换入变量,原则是: 在保持对偶可行的前提下,减少原始问题的不可行性;

3.

按主元素进行换基迭代 (旋转运算、枢运算),将主元素变成1,主元列变成单位向量,得到新的单纯形表。循环以上步骤,直至求出最优解。

对偶单纯形法的步骤可以归纳如下：

⑴将原问题化为标准形式：求 max Z = x c j n

j j ∑=1

满足 b x a i n

j j ij ≤∑=1 （j=1，2……n ） x j ≥0 （i=1，2……m ）

建立初始单纯形表，若b 列全为非负，判别数行C j -Z j ≤0，则已得最优解，计算停止；若b 列至少有一个负分量，且判别数C j -Z j ≤0，则进行下一步

方法思路

所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。只要保持检验数满足最优性条件前提下，一旦基解成为可行解时，对偶问题和原问题均可行，由强对偶性证明，二者均有最优解。

设原始问题的标准形式为max{cx|Ax=b，x≥0}，则其对偶问题(Dual Problem)为 min{yb|yA≤c}。当原问题的一个基解满足最优性条件时，其检验数小于等于0，当σ=cj-zj=cj-CBB-1A≤0时，既有或，即知单纯形算子y=CBB-1为对偶问题的可行解。换而言之，只要保证检验数σ≤0，则对偶问题一定存在可行基B。

在初始单纯形表中，一般此可行基B都为单位矩阵I，这时候只要能够保持检验数持续小于等于0迭代下去，通过变换到一个相邻的目标函数值较小的基可行解（因为对偶问题是求目标函数极小化），并循环进行，一到XB=B-1b≥0时，原问题也为可行解。这时，对偶问题和原问题均为可行解，而且两者的可行解就是最优解，这就是对偶单纯形法求解线性规划的基本思路。

一旦最终基变量XB≥0，原问题也满足最优解条件的原因是：对偶问题的最终单纯形表中的基变量XB=B-1b和原问题的最终单纯形表中的检验数的相反数CBB-1取值相等，不难观察到原问题的检验数σ=cj-zj-CBB-1=-B-1b≤0，其检验数满足最优性条件。（注：这里的B并不是同一个矩阵，它们是各自问题的初始可行基，但CB和b在本质上是同一个向量。）

虽然，本方法借鉴了对偶理论的思路，但是它是求解原问题而非对偶问题的一个方法。而且，一般用对偶单纯形法解决的是原始问题是极小化问题，min{cx|Ax=b，x≥0}，但是只要先标准化为max{cx|Ax=b，x≥0}即于上面一致。

到此，以上就是小编对于求函数对偶式和反函数的问题就介绍到这了，希望介绍的4点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。