函数在r上连续（函数在r上连续,可得出什么）

1. 一个函数在R上连续可以直接退出它有界么
2. 怎么证明一个高数的连续性，比如f（x）=x
3. 指数函数的连续性
4. R上的开映射是不是连续映射？也就是说如果定义在R上的函数f把任意开集映为开集，那么f是否一定连续

一个函数在R上连续可以直接退出它有界么

在R上连续不能直接推出在R上有界。

在R上连续且无界的例子可以举出很多。不仅R上如此，凡开区间都如此。我想，书上的例子您大概知道吧。这个题目的证明中，无穷处有极限是一个重要的条件。注意，必须正负无穷处都有极限才行。证明中，[-M,M]上有界可以利用闭区间的现有定理来推出，而[-M,M]以外，则必须引用极限的定义来证明其有界，最后才能归纳出整个R上都有界的结论。

怎么证明一个高数的连续性，比如f（x）=x

证明函数连续，就是要证明函数在任一点处的极限等于函数在该点处的函数值。对函数 f(x) = x 来说，证明如下：对任意实数 x0 ，有 lim(x->x0) f(x) = lim(x->x0) x = x0 = f(x0)，因此函数在 x = x0 处连续，由于 x0 是任意实数，所以函数在 R 上连续。

指数函数的连续性

指数函数

指数函数的定义域为R，这里的前提是a大于0且不等于1。对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不连续，因此我们不予考虑，同时a等于0函数无意义一般也不考虑。

连续性的

  先来了解一下连续函数的概念：设函数y＝f（x）的定义域为M，任一a∈M，且f（a）存在，当△x→0时，lim〈f（x＋△x）-f（x）〉＝0，则称f（x）在x＝a处连续。

        再看指数函数，设指数函数f（x）＝a＾x（a＞0且a≠1），其定义域为R，对于任一c∈R，当△x→0时，Ⅰim（a＾△x）＝1，因此，当△x→0时，Ⅰim（f（c＋△x）-f（c）〉＝Iim〈a＾（c＋△x）-a＾c〉＝Ⅰim〈a＾c*（a＾△x-1）〉＝0，所以，指数函数f（x）＝a＾x在R上是连续函数。

指数函数是连续函数。连续性意味着函数在定义域内的任意两个点之间没有跳跃或断裂。指数函数的定义域是整个实数集，而且指数函数的图像是平滑的曲线，没有任何间断或跳跃。因此，指数函数在其定义域内是连续的。无论是正指数函数还是负指数函数，它们都具有连续性。

R上的开映射是不是连续映射？也就是说如果定义在R上的函数f把任意开集映为开集，那么f是否一定连续

目前没想到简单的构造, 姑且用下面这种.实数集R按照等价关系: x ~ y当且仅当x-y ∈ Q分成等价类.由Q是可数集, 而R是不可数的, 等价类的基数也是不可数的.实际上, 可以建立等价类与实数的一一对应.定义函数f: R → R, 将每个等价类中的数映为与该等价类对应的实数.于是对任意实数y, 集合{x | f(x) = y}在R中稠密.可知f在任意非空开集上的值域都是R, f是开映射.又f显然不连续, 即构成反例.

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