连续函数介值定理证明（介值定理推论）

1. 介值性的函数一定连续吗
2. 介值定理推论
3. 介值定理如何理解
4. 极限的介值定理
5. 连续函数的三个定理
6. 中间值定理证明

介值性的函数一定连续吗

不一定，注意导函数有介值性（达布中值定理）

设f(x)= x^2sin(1/x) x不等于0

0 x=0

则f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x) x不等于0

0 x=0

但x趋于0时，f'(x)极限不存在，所以不连续。

再加上他是双射，那么必定是连续的

首先，双射函数一定是严格单调的，那么函数在定义域内每一点左右极限都存在。这时候要是左极限不等于右极限，那么一定不具备介值性。

这就证明了函数一定在每一点处连续。

介值定理推论

介值定理的推论：

零值定理为介值定理的推论。又名零点定理。其内容为：设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)×f(b)<0），那么在开区间（a，b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ<b）使f(ξ)。

几何意义：

在[a,b]上连续的曲线，如果f(a)*f(b)<0，则此函数与X轴y=0在[a，b]内至少相交于一点。

介值定理如何理解

介值定理是闭区间上连续函数的性质之一，表明如果定义域为[a，b]的连续函数f，那么在区间内的某个点，它可以在f（a）和f（b）之间取任何值，也就是说，介值定理是在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间。 

极限的介值定理

介值定理，又名中间值定理，闭区间连续函数的重要性质之一。

定理定义如下：

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值，f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C (a<ξ<b)。

连续函数的三个定理

函数f(x)在x0连续,当且仅当f(x)满足以下三个条件:①f(x)在x0及其左右近旁有定义；

②f(x)在x0的极限存在；

③f(x)在x0的极限值与函数值f(x0)相等。

最大值最小值定理：设函数  为  上的连续函数，则  必然在  上存在最大值  和最小值 

介值定理：设函数  是  上的连续函数，且存在不等式  ，则必然至少一个数  ，能够使得



零点存在性定理：设函数是  上的连续函数，且存在不等式  ，则在  上，至少存在一个数  ，能够使得  成立。

设  ，求证在区间  内至少有一点  ，使 

中间值定理证明

中间值定理一般指介值定理

介值定理，又名中间值定理，是闭区间上连续函数的性质之一，闭区间连续函数的重要性质之一。在数学分析中，介值定理表明，如果定义域为[a，b]的连续函数f，那么在区间内的某个点，它可以在f（a）和f（b）之间取任何值，也就是说，介值定理是在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间。

到此，以上就是小编对于连续函数的介值性定理证明的问题就介绍到这了，希望介绍的6点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。