borel集合包括什么实变函数论里面的borel集合,博雷尔可测函数是什么

1. borel集合包括什么实变函数论里面的borel集合
2. 什么是完备测度
3. 空间分布测度指的是什么
4. 连续函数在闭区间为什么是有界的

borel集合包括什么实变函数论里面的borel集合

Borel集是由开集生成的西格玛代数。

开集，闭集，F西格玛集，G德尔行塔集，可数集都是Borel集合，当然Borel集不止我说的这些。

什么是完备测度

完备测度(complete measure)亦称完全测度，是使得零集的任何子集都可测的那种测度。设(Ω,F,μ)是测度空间，如果(Ω，F，μ)中μ零集的子集都是可测集，则称μ是完备测度，并称(Ω,F,μ)是完备测度空间。

勒贝格测度空间和勒贝格-斯蒂尔杰斯测度空间都是完备的测度空间，而博雷尔尔测度空间是不完备的测度空间。若测度μ完备，则凡是μ几乎处处相等的函数，或者都可测，或者都不可测。几乎处处收敛的μ可测函数列的极限函数也是μ可测的。

空间分布测度指的是什么

要理解可测，先要了解什么是不可测
测度是赋予集合的函数，需要满足性质：a) 空集的测度为0，b) 可加 （countale additvity）
给定一个空间和一些测度函数需要具备的额外性质，则不一定存在能对空间中所有的子集都能赋值的测度函数
例如，假设我们需要测度函数具有平移不变性，则空间上的

Vitali set

不可测
上述现象的原因是存在一些集合，本身不具备良好的性质. 因此定义测度时，将这些集合排除在定义域外，称为不可测集，相应地，能够定义测度的称为可测集
通常在定义测度时，从一些给定的基本的集合出发（比如记作），对A中的集合作countable union和取补集得到的全体称为由A生成的代数 （一般记作M）
这样定义测度时, 只需要空间本身以及对A中的每个元素赋值，就自然得到了M中所有元素的测度
因此测度空间一般记作, X 代表给定的空间，代表代数 ，代表定义在M上的测度，不在M中的就称为代表不可测集
注意可测与不可测是相对的，取决于上下文的代数和测度函数
Lebesgue测度是测度的一种，是对Borel测度的完备化。
Borel测度是定义在由开集生成的代数（记作）上的测度，在上由分布函数之差定义，因此具有性质以及平移不变性
但Borel测度并不完备，即存在测度为0的集合，其子集不可测，例如

Cantor set

Lebesgue测度在Borel测度的基础上定义这些零测集及其子集也为零测集如果函数定义在两个测度空间上，且对其象空间中的每一个可测集，其原像在原空间中也可测，就称为可测函数，否则称为不可测函数。例如定义到（均为Lebesgue measure）上的常函数 是一个可测函数，因为其象为,原象为，均为可测集；如果定义在vitali set上取值1，在其它处取值0，则是不可测函数，因为象的原象是不可测集

连续函数在闭区间为什么是有界的

连续函数在闭区间是有界的，这是由闭区间的紧致性和连续函数的性质决定的。

首先，闭区间是紧致的，这意味着它包含所有的极限点，并且没有"剩余"的点在闭区间之外。这个性质允许我们使用Heine-Borel定理。

其次，由于连续函数的性质，在闭区间上的连续函数必定是局部有界的。这意味着对于闭区间上的每个点x_0，存在一个邻域（比如说，(x_0 - δ, x_0 + δ)）使得函数在这个邻域上是有界的。

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