单位冲激函数的性质（单位冲激函数的性质证明）

1. 冲激信号的性质
2. 单位冲激函数的两种定义
3. 单位冲激偶信号性质及表达式
4. 什么是冲激函数

冲激信号的性质

系统在单位冲激函数激励下引起的零状态响应被称之为该系统的“冲激响应”。它与系统的传递函数互为傅里叶变换关系。

在连续时间系统中，任一个信号可以分解为具有不同时延的冲激信号的叠加。进行实际分析是，可通过电路分析法求解微分方程或采用解卷积的方法，计算出系统的冲激响应。

冲激响应”完全由系统本身的特性所决定，与系统的激励源无关，是用时间函数表示系统特性的一种常用方式。

冲激信号性质：

具有筛选性质 如果信号x(t)是一个在t=t₀处连续的普通函数,则有 上式表明,信号x(t)与冲激函数相乘,筛选出连续时间信号x(t)在t=t₀时的函数值x(t₀),可以理解为冲激函数在t=t₀时刻对函数x(t)的一瞬间的作用,其值是冲激函数和x(t₀)相乘的结果,瞬间趋于无穷大。

冲激函数的性质如下：

1、抽样性。

2、奇偶性。

3、标度变换。

4、微分性质（冲激偶）和积分性质。

单位冲激函数的两种定义

它是一个通过其积分性质来定义的符号函数。 通常，单位冲激函数可定义如下：冲激函数的性质有： 对称性（偶函数）

单位冲激偶信号性质及表达式

"单位冲激函数"是“信号与系统”学科中的一个重要概念。它是一个“面积”等于1的理想化了的窄脉冲。也就是说，这个脉冲的幅度等于它的宽度的倒数。当这个脉冲的宽度愈来愈小时，它的幅度就愈来愈大。当它的宽度按照数学上极限法则趋近于零时，那么它的幅度就趋近于无限大，这样的一个脉冲就是“单位冲激函数”。

在实际工程中，像“单位冲激函数”这样的信号是不存在的，至多也就是近似而已。

在理论上定义这样一个函数，完全是为了分析研究方便的需要。

单位冲激偶信号是一种理想化的信号，其性质为在时刻t=0处取值为无穷大，其他时刻取值为零。单位冲激偶信号的表达式为δ(t) - δ(t-1)，其中δ(t)表示单位冲激信号，δ(t-1)表示在时刻t=1处取值为无穷大，其他时刻取值为零的单位冲激信号。单位冲激偶信号在信号处理和系统分析中具有重要作用，常用于描述系统的冲击响应和脉冲响应。

单位冲激偶信号是一种特殊的离散时间信号，定义为在每个偶数时刻取值为1，其他时刻取值为0的序列。其表达式可以写成：

\delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \neq 0 \end{cases}

δ[n]={ 

1,

0,

n=0

n

什么是冲激函数

计算机控制里用的是单位脉冲，信号系统里用的冲激函数。两者虽然都用符号δ表示，实际上完全是两个概念，没有关系。

单位冲激信号（函数）定义如下：

它是一个"面积"等于1的理想化了的窄脉冲。也就是说，这个脉冲的幅度等于它的宽度的倒数。当这个脉冲的宽度愈来愈小时，它的幅度就愈来愈大。当它的宽度按照数学上极限法则趋近于零时，那么它的幅度就趋近于无限大，这样的一个脉冲就是"单位冲激函数"。在实际工程中，像"单位冲激函数"这样的信号是不存在的，至多也就是近似而已。在理论上定义这样一个函数，完全是为了分析研究方便的需要。

单位脉冲函数（又称狄拉克δ函数）定义如下：

在除了零以外的点都等于零，而其在整个定义域上的积分等于1。严格来说狄拉克δ函数不能算是一个函数，因为满足以上条件的函数是不存在的。但可以用分布的概念来解释，称为狄拉克δ分布，或δ分布，但与费米-狄拉克分布是两回事。在广义函数论里也可以找到δ函数的解释，此时δ作为一个极简单的广义函数出现。在实际应用中，δ函数或δ分布总是伴随着积分一起出现。δ分布在偏微分方程、数学物理方法、傅立叶分析和概率论里都和很多数学技巧有关。

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