二元函数求极值的方法（二元函数求极值的方法总结）

1. 二元二次函数求极值的方法
2. 求二元一次函数极值的方法
3. 二元函数的极值是值还是点
4. 二元函数在一点取得极值怎么判断

二元二次函数求极值的方法

f(x) = (x

1 )

2 –4x 1 + (x 2 ) 2 + 4 .分别对x 1 和x 2 求导数并且令导数值为0,可得2x 1 –4 = 0 和 2x 2 = 0 => x 1 = 2 和 x 2 = 0 => f(x 1 ,x 2 ) = 0 + 0 = 0 这是函数的最小值（极小值）.

求二元一次函数极值的方法

类似一元函数， 二元函数的极值与其偏导数密切相关． 以下讨论中， 我们假设在某区域内二元函数的一阶偏导处处存在（即函数曲面处处光滑）． 如果二元函数  在某点  处对  的偏导数都为零， 那么  就叫做函数  的驻点． 根据式 9 ， 驻点处各个方向的方向导数也都为零．

　　 我们先来定义二元函数的极值点， 以驻点为圆心在  平面上作一个圆形区域， 若当半径足够小时，  是该圆形区域的最大值或最小值， 那么该驻点就是极大值点或极小值点． 与一元函数类似， 驻点不一定是极值点． 例如  在坐标原点的两个一阶偏导都为零， 但原点并不是极值点． 为了判断驻点是不是极值点， 也需要用到二阶偏导（假设驻点处的各个二阶偏导都存在）． 如果满足



则驻点是极值点． 如果  和  都大于零1， 则极值为极小值， 若都小于零， 则极值为极大值．

证明

　　 类比一元函数的证明， 要证明二元函数的某点是极值点， 就要证明该点的任意二阶方向导数都大于零或都小于零2． 令某方向为 ， 由式 9 得该方向的方向导数为



我们都知道，二元一次函数的一般表达式为y=Kx+b。要求这个二元一次函数的极值，首先，我们必须知道这个二元一次函数的定义域。假设这个二元一次函数的定义域为≤ax≤b，那么这个二元一次函数的极值分别是:当K<0时，极大值为Ka+c，极小值为Kb十c，当K>0时，极大值为Kb十C，极小值为Ka+C。

1.二元一次函数极值在对称轴处取得

2。运用导数求极值

二元函数的极值是值还是点

可导的极值点是驻点，驻点不一定是极值点 两个反例， z=(x^2+y^2)^（1/2)，（0,0）是极值点，但不是驻点 z=xy 驻点是（0,0），但不是极值点

点。

这个应该是导数里面的概念。对一个二元函数求导，导函数=0时求到的x值所对应的点就是极值点，所对应的y就是极值（有极大值和极小值）。比如一个y=x^2+x.对它求导y'=2x+1=0

求到x=-1/2，则它的极小值为-1/4。

表现在图象上就是先减后增的最低点为极小值，反之为极大值。（注：极值不一定是最值）

二元函数在一点取得极值怎么判断

求该二元函数的梯度，并令其等于零，求出所有驻点（X0，Y0）。

判别驻点是否为极值点。判别方法如下：对原函数求二阶导，并将该驻点代入求得A，B，C.并根据判别公式判断该驻点是否为极值点。

(1) 如果A>0，且AC-B2>0，则f(x,y)在(x0,y0)处取极小值；

(2) 如果A<0，且AC-B2>0，则f(x,y)在(x0,y0)处取极大值；

(3) 如果AC-B2<0，则f(x,y)在(x0,y0)处不取极值．

对于有约束的多元函数极值，最值问题，通常使用拉格朗日乘数法或者代入法（降低未知参数个数）

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