黎曼函数是什么,勒贝格函数的定义

1. 黎曼函数是什么
2. 勒贝格积分的基本思路

黎曼函数是什么

黎曼函数是一种特殊的函数，它在数学上具有重要的地位。它是由德国数学家黎曼在研究复变函数时引入的。黎曼函数本质上是一种复变函数，它在复平面上每一个点都有一个唯一的函数值，具有某些特殊的性质，如周期性、奇偶性等。黎曼函数在数论、物理、工程等领域中都有广泛的应用，是现代数学中的重要研究课题之一。

简介黎曼函数是一个特殊函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中被广泛应用，在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题。 　　此函数在微积分中有着重要应用。 定义R(x)=0，如果x=0，1或(0,1)内的无理数； 　　R(x)=1/q，如果x=p/q（p/q为既约真分数），即x为(0,1)内的有理数。 性质定理：黎曼函数在区间(0,1)内的极限处处为0。 　　证明：对任意x0∈(0,1)，任给正数ε，考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点，因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式（q∈N+），且对每个q，函数值等于1/q的点都是有限的，所以除x0以外所有函数值大于等于ε的点也是有限的。设这些点，连同0、1，与x0的最小距离为δ，则x0的半径为δ的去心邻域中所有点函数值均在[0,ε)中，从而黎曼函数在x->x0时的极限为0。 　　推论：黎曼函数在(0,1)内的无理点处处连续，有理点处处不连续。 　　推论：黎曼函数在区间[0,1]上是黎曼可积的。（实际上，黎曼函数在[0,1]上的积分为0。） 　　证明：函数可积性的勒贝格判据指出，一个有界函数是黎曼可积的，当且仅当它的所有不连续点组成的集合测度为0。黎曼函数的不连续点集合即为有理数集，是可数的，故其测度为0，所以由勒贝格判据，它是黎曼可积的。变体 R(x)=0，如果x为任意无理数； 　　R(x)=1/q，如果x=p/q（p∈Z，q∈Z+，(p,q)=1），即x为任意非零有理数； 　　R(x)=1，如果x=0。 　　这样定义的黎曼函数R上的所有无理点处处连续，有理点处处不连续。

勒贝格积分的基本思路

勒贝格进一步完善了博雷尔的测度论，提出了更一般的具有可数可加性的勒贝格测度，一般的集合在这种意义下都是可测的。勒贝格的测度论摒弃了有限可加这样的限制，并以可测函数代替连续函数，这样就大大扩展了可研究的范围，将之前不可处理的“病态函数”纳入麾下，比如此时有理数集Q∈[0，1]可测，狄利克雷函数也将可测可积。而且一定条件下，黎曼可积的条件就是这个函数的不连续点的勒贝格测度为0，这就很好地解释了之前达布的结论。但关于勒贝格理论的具体内容，这里就不细谈了，感兴趣的话可以看实变函数论的教材。

相较而言，黎曼积分通过划分定义域来求和，而勒贝格积分通过划分值域来求和 ，这样就避免了区分定义域中不连续点的麻烦，体现了勒贝格理论巨大的优越性。例如在勒贝格控制收敛定理中，并不需要假设极限函数可积，这对黎曼积分来说是不能实现的。勒贝格一开始利用他的积分论研究三角级数就获得了巨大成果，轻而易举地就获得了以前大费周章才能证明的结论，而且他还改进了许多结论，使之更加完整。这在黎曼积分时代都是不可想象的

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