多元函数可微的定义（多元函数可微的定义公式）

1. 多元函数可微性定义
2. 证明多元函数的可微性有几种方法呢
3. 多元函数可微的充分必要条件是什么

多元函数可微性定义

定义1：设函数z=f(x,y)在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U(P 0)上有定义，对于U(P 0)中的点P(x,y)=(x 0+△x,y 0+△y)，若f 在点P 0处的全增量可表示为： △z=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)=A △x+B △y+o (ρ)，其中ρ=22y x ?+?， o (ρ)是较ρ高阶的无穷小量，A,B 是仅与点P 0有关的常数， 则称函数f 在P 0可微. 并称A △x+B △y 为函数f 在点P 0的全微分， 记作dz|0

函数的连续性、可导性、可微性是高等数学中的重点和难点内容。一元函数可微与存在导数是等价的。而对于多元函数，偏导数即使都存在，该函数也不一定可微。

证明多元函数的可微性有几种方法呢

一、函数可微的判断

1、函数可微的必要条件

若函数在某点可微分，则函数在该点必连续；

若二元函数在某点可微分，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

2、函数可微的充分条件

若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。

二、多元函数可微的条件

多元函数可微的充分必要条件是f(x，y)在点（x0，y0）的两个偏导数都存在。

扩展资料：

微分的推导

证明多元函数可微主要有两种方法：

方法一：证明偏导存在且连续方法二 用定义。简单来说就是全增量的表达式和p做比求极限，如果极限为0，可微。

证明多元函数的可微性有几何方法，也有求复合导数相等的方法，也有代数法，也有一个高斯公式的方法和伯努利级数方程的方法。

多元函数可微的充分必要条件是什么

多元函数可微的充分必要条件是f(x,y)在点（x0,y0）的两个偏导数都存在

多元函数可微的充分必要的条件f（x，y）在（Xo，Yo）两个偏导数都存在。

若对于每一个有序数组（X1，X2……Xn）∈通过对应规则f都有唯一确定的与之对应，则称对于规则为定义为D上的n元函数。函数y＝f（x）是因变量与一个自变量之间的关系，即因变量的值只依靠于一个自变量。

可微的充分条件：有连续一阶偏导数。注意，是连续，仅仅存在偏导数是不够的。

多元函数的本质是一种关系。是两个集合间一种确定的对应关系。这两个集合的元素可以是数；也可以是点、线、面、体；还可以是向量、矩阵；等等。一个元素或多个元素对应的结果可以是惟一的元素，即单值的。也可以是多个元素，即多值的。

人们最常见的函数，以及目前我国中学数学教科书所说的“函数”，除有特别注明者外，实际上（全称）是一元单值实变函数。

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