函数有界性判断例题和讲解,有界函数例题解析

1. 函数有界性判断例题和讲解
2. 什么叫有界
3. 什么是有界函数？常见的有界函数有哪些
4. 有界函数乘无穷小举例

函数有界性判断例题和讲解

有界函数的定义如下，其中M是不为无穷的常数

你可以理解为这个函数没有无穷间断点，或者x趋于无穷时函数值不趋于无穷(文字叙述起来好别扭)

那么

如果

所以

什么叫有界

若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界

“有界”意思是若存在两个常数m和M，使函数y=f（x），x∈D满足m≤f（x）≤M，x∈D。则称函数y=f（x）在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。

函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

有界性

函数的有界性

如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。

注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数

例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.

什么是有界函数？常见的有界函数有哪些

简单地说，函数的值域有界，就是有界函数。换言之，函数的值域是有限区间，这个函数就是有界函数。定义是说，存在常数M，对定义域内任意x,有|f(x)|≤M成立，则f(x)是有界函数。常见的有正弦函数，余弦函数等。此外，闭区间上的连续函数是有界函数。此结论应用广泛。

有界函数是设f(x)是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M称为f(x)在区间E上的上界。

正弦函数和余弦函数是定义域为R上的有界函数，因为对于每个

都有

和

新的概念

有界函数乘无穷小举例

一个简单的例子是$f(x)=x^2$，当$x$趋近于$0$时，$f(x)$也趋近于$0$，因此$f(x)$是一个无穷小。然而，$f(x)$在任何有限区间内都是有界的，因为$x^2$是一个下凸函数，它的最小值为$0$，因此$f(x)$在任何有限区间内都不会超过某个有限值。因此，$f(x)$是一个有界函数乘以一个无穷小。

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