凹凸函数的性质（凹凸函数的性质及其应用）

1. 讲解函数的凹凸性
2. 函数的凹凸性是怎样定义的？（二阶导数）
3. 谁知道凸函数和凹函数的定义与性质
4. 凹函数的性质及其证明
5. 函数的凹凸性怎么比较两个函数的大小
6. 函数凹凸区间的分界线

讲解函数的凹凸性

函数的凹凸性指的是：函数图象所表现出来的凹凸性，即函数在二元坐标系表现出的性质。如一元二次函数，其解析式可表示为：y=ax^2+bx+c（a≠0）

当a＞0时，二次函数有最小值，所以函数图象表现为凹性，

当a＜0时，二次函数有最大值，所以函数图象表现为凸性。

其函数图象表示如下：

总而言之，函数的凹凸性为函数图象的直观表示。

函数的凹凸性是怎样定义的？（二阶导数）

二阶导数大于零为凹（下凸），二阶导数小于零为凸（上凸），凹凸性与一阶导数无关

谁知道凸函数和凹函数的定义与性质

答：在高等数学里我们经常说凸曲线或者凹曲线，而不说"凸函数"或"凹函数"。并在高等数学导数的应用于研究函数的图形的凹凸性时，是这样定义凹曲线和凸曲线的：如果连续可导函数的图像是一条曲线，那么区城I内函数y＝f(x)的图形位于任意点处切线的上方，这个函数就是图形上凹的，相反函数的图形位于任意点处切线的下方，函数就是图形上凸的。

如果函数f(x)二阶可导，那么二阶导数f''(x)<0，函数的图开是上凸的，二阶导数f''(x)>0，函数的图形是上凹的。

凹函数的性质及其证明

如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调下跌的，f就是凹的：一个凹函数拥有一个下跌的斜率（当中下跌只是代表非上升而不是严谨的下跌，也代表这容许零斜率的存在。）
如果一个二次可微的函数f，它的二阶导数f'(x)是正值（或者说它有一个正值的加速度），那么它的图像是凸的；如果二阶导数f'(x)是负值，图像就会是凹的。当中如果某点转变了图像的凹凸性，这就是一个拐点。

函数的凹凸性怎么比较两个函数的大小

在[a,b]

f(a)=g(a) f(b)=g(b)

f(x)凸 g(x)凹

f(x)> g(x)

函数凹凸区间的分界线

讨论二阶导数的正负，若在某区间为正则为凹区间，若在某区间为负则为凸区间。

一般地，把满足[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]的区间称为函数f(x)的凹区间；反之为凸区间；凹凸性改变的点叫做拐点。

通常凹凸性由二阶导数确定：满足f''(x)>0的区间为f(x)的凹区间，反之为凸区间；

例：求y=x^3-x^4的凸凹区间和拐点。

解：y'=3x2-4x3，y''=6x-12x2；

y''>0，得：0<x<1/2；

所以，凹区间为(0,1/2)；凸区间为(-∞,0)，(1/2,+∞)；拐点为(0,0)，(1/2,1/16)；

函数的定义：

给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

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