凸函数与凹函数（凸函数与凹函数的定义）

1. 怎样判断一个函数是凸函数还是凹函数
2. 上凸函数与凹函数有何区别
3. 凹弧和凸弧的判别方法
4. 二次函数一定是凸函数吗

怎样判断一个函数是凸函数还是凹函数

凹函数是一个定义在某个向量空间的凸集C（区间）上的实值函数f。设f为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点X1<X2和任意的实数λ∈（0，1），总有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),则f称为I上的凹函数。

在函数可导的情况下,如果一阶导娄在区间内是连续增大的,它就是凹函数;在图形上看就是"开口向上"

反过来,就是凸函数。

由于一阶导数连续增大,所以凹函数的二阶导数大于0;

由于一阶导数连续减小,所以凸函数的二阶导数小于0。

上凸函数与凹函数有何区别

上凸函数是凸函数下凸函数是凹函数上凸函数定义:设函数f(x)定义在[a,b]上,如果对于任意三数x1,x2,x3,a<x1<x2<x3<b,都有f(x2)≥L(x2),其中L(x)是过点(x1,f(x1))与(x3,f(x3))的直线方程.

凹弧和凸弧的判别方法

二阶导数>0，可得凹区间，二阶导数<0，可得凸区间。

二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f（x）的导数yˊ=fˊ（x）仍然是x的函数，则y′′=f′′（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数。在图形上，它主要表现函数的凹凸性。

几何定义：

1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即V型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸有的简称凹）

2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）

二次函数一定是凸函数吗

定义法：f(（x＋y）/2)>(f（x）＋f（y）)/2为为凸函数，反之为凹函数。导数法：函数二阶导数大于零为凹函数，小于零为凸函数

凹函数

：设函数f(x)在[a，b]上有定义，若[a，b]中任意不同两点x1，x2都成立：f[(x1+x2)/2]>=[f(x1)+f(x2)]/2

则称f(x)在[a，b]上是凹的。

函数图形：弧段像∪形的，比如y=x^2的函数.

凸函数

：设函数f(x)在[a，b]上有定义，若[a，b]中任意不同两点x1，x2都成立：f[(x1+x2)/2]<=[f(x1)+f(x2)]/2

则称f(x)在[a，b]上是凸的。

函数图形：弧段像∩形的，比如y=-x^2的函数.

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