正态分布的概率密度函数,正态分布概率函数公式

1. 正态分布的概率密度函数
2. 正态分布的期望和方差怎么求

正态分布的概率密度函数

正态分布密度函数公式：f(x)=exp{-(x-μ)²/2σ²}/[√(2π)σ]。计算时，先算出平均值和标准差μ、σ，代入正态分布密度函数表达式，给定x值,即可算出f值。

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ=0,σ=1时的正态分布是标准正态分布。

正态分布的期望和方差怎么求

正态分布的期望和方差可以通过其概率密度函数来求解。

设正态分布的概率密度函数为：

f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-((x-μ)^2) / (2σ^2))

其中，μ为期望，σ为标准差。

则正态分布的期望为μ，方差为σ^2。

求期望：ξ

期望：Eξ=x1p1+x2p2+……+xnpn

方差：s? 方差公式：s?1/n[(x1-x)?(x2-x)?……+(xn-x)瞉

注：x上有“-”

正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。

正态分布（也称为高斯分布）的期望为μ，方差为σ²。其中，μ表示正态分布的均值（期望），σ表示正态分布的标准差。一般的正态分布可表示为N(μ, σ^2)。期望μ可以通过对正态分布的概率密度函数进行求积分得到：μ = ∫ x f(x) dx方差σ²可以通过对正态分布的概率密度函数进行求积分得到：σ² = ∫ (x - μ)² f(x) dx其中f(x)表示正态分布的概率密度函数。

不用二重积分的，可以有简单的办法的。设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)] 其实就是均值是u，方差是t^2，于是：∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t.（*） 积分区域是从负无穷到正无穷。

下面出现的积分也都是这个区域,所以略去不写了。（1）求均值 对（*）式两边对u求导：∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0 约去常数，再两边同乘以1/(√2π)t得：∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0 把(u-x)拆开,再移项：∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx 也就是 ∫x*f(x)dx=u*1=u 这样就正好凑出了均值的定义式。

证明了均值就是u.(2)方差 过程和求均值是差不多的，对(*)式两边对t求导：∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π 移项：∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2 也就是 ∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2 正好凑出了方差的定义式，从而结论得证。

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