密度函数求方差（关于方差的所有性质及规律）

1. 期望概率密度怎么求
2. 关于方差的所有性质及规律
3. 概率密度与期望方差关系
4. 根据联合密度函数，求协方差

期望概率密度怎么求

一般的知道了期望是求不出概率密度函数的。如果是正态分布的话可以，因为正态分布的概率密度函数只取决于期望和方差。运用相关公式即可。

由于随机变量X的取值 只取决于概率密度函数的积分，所以概率密度函数在个别点上的取值并不会影响随机变量的表现。

更准确来说，如果一个函数和X的概率密度函数取值不同的点只有有限个、可数无限个或者相对于整个实数轴来说测度为0（是一个零测集），那么这个函数也可以是X的概率密度函数。

相关概念：

正态分布具有两个参数μ和σ^2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ^2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N（μ,σ2）。

μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小。正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。正态分布的期望、均数、中位数、众数相同，均等于μ。

数学期望值是每一次的概率乘以其结果的总和。 这个公式就是反应连续性数学期望和概率密度的关系。

关于方差的所有性质及规律

方差是概率论和统计学中用来度量随机变量或一组数据离散程度的度量。以下是方差的一些性质和规律：

方差的性质：

方差是衡量随机变量取值分散程度的量，方差越大，数据的离散程度越大。

若随机变量X的方差为D(X)，则D(aX) = a^2 * D(X)，其中a为常数。

若随机变量X和Y相互独立，则D(X + Y) = D(X) + D(Y)，即独立变量的和的方差等于各自方差的加和。

方差的计算公式：

对于离散型随机变量X，其方差计算公式为：D(X) = Σ (xi - μ)^2 * p(xi)，其中μ是随机变量的均值（期望），xi是随机变量的取值，p(xi)是对应取值的概率。

对于连续型随机变量X，其方差计算公式为：D(X) = ∫ (x - μ)^2 * f(x) dx，其中μ是随机变量的均值（期望），f(x)是随机变量的概率密度函数。

方差与期望的关系：

方差是指对一组样本数据分析整体个体之间的差异分布值，具有整体性，取样性

概率密度与期望方差关系

数学期望值是每一次的概率乘以其结果的总和。

如果概率密度f(x)是偶函数，则xf(x)是奇函数，它在-∞到+∞的定积分是0，即期望为0。

概率密度：f(x)=(1/2√πbai) exp{-(x-3)²/2*2}

根据题中正态概率密度函数表达式就可以立马得到随机变量的数学期望和方差：

数学期望：μ = 3

方差：σ²= 2

根据联合密度函数，求协方差

E(XY)=∫(-∞,+∞)∫(-∞,+∞)xy(x+y)dxdy

=∫(0,1)∫(0,1)xy(x+y)dxdy=∫(0,1)[(1/3)y+(1/2)y^2]dy=1/3.

E(X)=∫(-∞,+∞)∫(-∞,+∞)x(x+y)dxdy=∫(0,1)∫(0,1)x(x+y)dxdy=7/12

E(Y)==∫(0,1)∫(0,1)y(x+y)dxdy=7/12

cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=1/3-49/144=-1/144.

E(X^2)=∫(0,1)∫(0,1)x^2(x+y)dxdy=5/12,

E(Y^2)=∫(0,1)∫(0,1)y^2(x+y)dxdy=5/12,

D(X)=E(X^2)-E(X)^2=5/12-49/144=11/144.

D(Y)=11/144.

pXY=cov(X,Y)/[√D(X)√D(Y)]=-1/11.

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