凸函数一定一致连续吗,函数的凸性与拐点

1. 凸函数一定一致连续吗
2. 凸函数一定连续的证明

凸函数一定一致连续吗

不一定。凸函数可能不一致连续。例如，函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是一致连续的，但是在区间[1,2]上则不一致连续。

这是因为当x趋向于2时，f(x)的值迅速增加，导致在x=2处出现“尖峰”，从而使得函数在x=2处不一致连续。

因此，凸函数不一定一致连续。

不啊，f(x)=x^2就不一致连续

y=1/x在(0,1]上是凸函数，但不一致连续。

如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调上升的，也就是二阶导数若存在，则在此区间，二阶导数是大于零的，f就是凹的；即一个凹函数拥有一个下跌的斜率（当中下跌只是代表非上升而不是严谨的下跌，也代表这容许零斜率的存在。）

凸函数是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。



凹函数、凸函数性质：

如果一个二次可微的函数f，它的二阶导数f'(x)是正值（或者说它有一个正值的加速度），那么它的图像是凹的；如果二阶导数f'(x)是负值，图像就会是凸的。当中如果某点转变了图像的凹凸性，这就是一个拐点。

如果凹函数（也就是向上开口的）有一个“底”，在底的任意点就是它的极小值。如果凸函数有一个“顶点”，那么那个顶点就是函数的极大值。

如果f(x)是二次可微的，那么f(x)就是凹的当且仅当f''(x)是正值。

凸函数一定连续的证明

在我看来，凸函数的连续性与夹逼定理的地位类似，建议叙述证明和忽略应用。处在这种地位的结论还有很多，阅读应用主干知识解决问题的过程，可以增长很多见识，但是实在没有必要深究，增加不必要的负担。

命题　设  是区间  上的凸函数，即对于任意  和  成立



则  是连续函数。

通过如下的引理指出凸性的直观意义。

引理　设  是区间  上的凸函数，则对于任意  当  时



只证明第一个不等号。由凸函数的定义得到



代入不等式左边的  即可。

对于凸函数而言，它的定义是在定义域上的任意两个点上，连接这两个点的线段上的函数值都小于等于线段的斜率，即 f(tx + (1-t)y) ≤ t*f(x) + (1-t)*f(y)，其中 0≤t≤1，x和y为定义域上的任意两个点。

我们要证明凸函数一定连续，可以采用反证法。假设存在一个凸函数 f(x)，在某个点 x = a 处不连续。

根据不连续的定义，在点 x = a 处，左极限 L = lim┬(x→a⁻) f(x) 和右极限 R = lim┬(x→a⁺) f(x) 存在，但 L ≠ R。

我们可以取一个介于 L 和 R 之间的数值 k，即 L < k < R。由于 f(x) 是凸函数，我们可以找到两个点 x1 和 x2，满足 a < x1 < a < x2，并且 f(x1) > k 和 f(x2) < k。

由于 f(x) 的凸性，我们可以连接 x1 和 x2 之间的线段，该线段位于 a 的左侧和右侧。在连接线段的中点处取点 x0，即 x0 = (x1 + x2)/2。根据凸函数的定义，我们有 f(x0) ≤ (f(x1) + f(x2))/2 < (k + k)/2 = k。但这与我们在 a 点的假设相冲突，因为 f(x0) < k。

因此，如果凸函数 f(x) 在某一点 a 处不连续，则假设不成立。凸函数一定是连续的。

到此，以上就是小编对于函数的凸性与拐点的问题就介绍到这了，希望介绍的2点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。