函数的连续性（函数的连续性怎么判断）

1. 描述函数连续性的六大定理
2. 判断函数连续性
3. 高数函数连续性的求法

描述函数连续性的六大定理

1、连续性定义：若函数f(x)在x0有定义,且极限与函数值相等,则函数在x0连续 2、充分条件：若函数f(x)在x0可导或可微（或者更强的条件）,则函数在x0连续 3、必要条件：若函数f(x)在x0无定义、或无极限、或极限不等于函数值,则在x0不连续 4、观察图像（这个不严谨,只适用直观判断）

5、记住一些基本初等函数的性质,大部分初等函数在定义域内都是连续的 6、连续函数的性质：连续函数的加减乘,复合函数等都是连续的

            描述函数连续性的六大定理是：

零点定理：如果连续函数闭区间端点处函数值异号，则区间内至少有一个零点。

介值定理：如果连续函数在闭区间端点处的函数值为A和B，则区间内至少有一个点的函数值在AB之间。

一致连续性：设f(x)在某区间上有定义，对任意正数ε，总存在正数δ，使任意两点|x1-x2|<δ时，|f(x1)-f(x2)|<ε，则称函数在该区间一致连续。一致连续表示，在该区间上，自变量两个值接近到一定程度时，对应函数值也要达到指定的接近程度。一致连续必然连续，连续不一定一致连续。

1 最值定理

最值定理可以判断该函数在某个闭区间上是否存在最值。

2 零点定理

要求函数零点或者函数零点的大致区间，可以用到零点定理。

3 介值定理

介值定理其实是零点定理的延伸，可以是想象成把x轴上下平移与函数在区间[a,b]中有交点，且f(a)=A，f(b)=B这样在该区间内必有一点c，能使f(c)=C，且C在区间[A,B]内。

4 罗尔定理

罗尔定理在高等数学中是十分常用的。

5 拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理是罗尔定理的进阶版，不需要两段函数值相等，只需要函数在闭区间连续开区间可导即可使用。

判断函数连续性

如果函数在某点的极限等于它在该点的函数值，则函数在该点连续。如果函数在某区间内所有点连续，则称该函数在这个区间内连续。

要判断一个函数的连续性，可以根据以下

进行分析：

1. 函数在定义域内有定义：首先，确保函数在其定义域内有定义。如果函数在某些点上没有定义，那么函数在这些点上就不是连续的。

2. 函数在定义域内无间断点：其次，检查函数在其定义域内是否存在间断点。间断点包括跳跃间断点、可去间断点和无穷间断点。如果函数在某些点上存在间断，则函数在这些点上不是连续的。

3. 函数的极限存在且与函数值相等：最后，需要计算函数在定义域内的各个连续点的极限，并确保这些极限与函数在这些点上的函数值相等。如果函数在定义域内的各个连续点的极限存在且与函数值相等，那么函数就是连续的。

需要注意的是，不同的函数可能有不同的连续性条件，这些条件可能会因函数类型而异。因此，在具体分析函数连续性时，需要结合函数类型和相关数学概念进行判断。

高数函数连续性的求法

两个关键点，一个在x=1, lim(x->1+)(x-2)^2=1=f(1)=1. 连续；另一个在x=-1, lim(x->-1-)(x+1)=0不等于f(-1)=-1, 所以在x=-1不连续.

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