反函数二阶导数公式,反函数二阶导数公式推导详解

1. 反函数二阶导数公式
2. 二阶导数公式推导过程
3. 二阶导数等于原函数的相反数
4. 反函数的导数

反函数二阶导数公式

公式是

二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f（x）的导数y'=f'（x）仍然是x的函数，则y''=f''（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数。
一般来说，设函数y=f（x）（x∈A）的值域是C，若找得到一个函数g（y）在每一处g（y）都等于x，这样的函数x= g（y）（y∈C）叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数，记作x=f-1（y）。反函数x=f-1（y）的定义域、值域分别是函数y=f（x）的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

反函数求导公式：y''=-y'*d²x/dy²。二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。函数y=f（x）的导数y'=f'（x）仍然是x的函数，则y''=f''（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数。

二阶导数是一阶导数的导数，从原理上，它表示一阶导数的变化率；从图形上看，它反映的是函数图像的凹凸性。可直接理解为曲线的切线斜率的变化率，也就是切线斜率的平均变化率。凹率可以认为是二阶导数的几何本质。上标−1指的是函数幂，但不是指数幂。

二阶导数公式推导过程

设x = f(t) 且 y = g(t)

理解为在一阶导数的基础上，对x再次求导。
个人理解：d(dy/dx)/dx
整体可以看作先对t求导，再令t对x求导；而括号中的dy/dx则是g’(t)/f’(t)；得出第一个等号后的式子。
之后在算乘号左侧的部分时，视为对t的求导，且是除法形式的求导：

子导母不导-子不导母导 ------------------------------ 分母的平方 123123

(以上三行假装是分数形式……)
之后的部分就很好理解，按部就班即可

最终结论公式

推导步骤如下：y=f(x)要求d^2x/dy^2dx/dy=1/(dy/dx)=1/y'd^2x/dy^2=d(dx/dy)/dx*dx/dy=-y''/y'^2*1/y'=-y''/y'^3拓展资料：反函数的导函数：在这里要说明的是，y=f(x)的反函数应该是x=f-1(y)。

只不过在通常的情况下，我们将x写作y，y写作x，以符合习惯。所以，虽然反函数和直接函数不互为倒数，但是各自导函数求出后，二者却是互为倒数。

二阶导数等于原函数的相反数

设dy/dx=y',则dx/dy=1/y'，应视为y的函数

则d2x/dy2

=d(dx/dy)/dy（定义）

=d(1/(dy/dx)) / dy

=d(1/(dy/dx))/dx * dx/dy（复合函数求导，x是中间变量）

反函数的导数

 反函数的导数是指将原函数关于其反函数求导得到的新函数。求解反函数的导数时，需要运用复合函数的求导法则。具体步骤如下：

1. 先确定原函数和其反函数的关系。设原函数为 f(x)，反函数为 f^(-1)(y)，则有 f(f^(-1)(y)) = y。

2. 对原函数求导。求出 f'(x)，即原函数关于 x 的导数。

3. 对反函数求导。利用复合函数的求导法则，将 f(x) 视为关于 y 的函数，求出 f'(y)。复合函数的求导法则为：若 u(x) 和 v(x) 都可导，则 (uv)' = u'v + uv'。

4. 将求得的原函数导数 f'(x) 和反函数导数 f'(y) 代入公式：f'(y) = 1/f'(x)，即可得到反函数的导数。

需要注意的是，反函数的导数公式适用于可逆函数，即存在反函数且在定义域和值域内可导。对于一些特殊函数，如指数函数、对数函数等，其反函数的导数可以直接给出。

例如，对于函数 f(x) = ex，其反函数为 f^(-1)(x) = ln(x)，求反函数的导数：

原函数导数 f'(x) = ex

将 f(x) 视为关于 y 的函数，求出 f'(y)：f'(y) = 1/ex

代入公式，得到反函数的导数：f'(x) = 1/ex

到此，以上就是小编对于反函数二阶导数公式推导详解的问题就介绍到这了，希望介绍的4点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。