幂函数收敛（求幂级数在收敛域内的和函数）

1. 幂函数发散定义
2. 求幂级数在收敛域内的和函数
3. 幂级数可导性
4. e^x为什么收敛
5. 关于收敛区间的公式

幂函数发散定义

幂函数的发散定义是指当基数 x 逼近无穷大或无穷小时，幂函数趋向于正无穷大或负无穷大。
具体来说，对于幂函数 f(x) = a^x，如果 a > 1，则当 x 逼近正无穷大时，函数值趋向于正无穷大。如果 0 < a < 1，则当 x 逼近负无穷大时，函数值趋向于正无穷大。
例如，考虑函数 f(x) = 2^x。当 x 逼近正无穷大时，2^x 也趋向于正无穷大，因此函数发散。同样地，对于函数 f(x) = (1/3)^x，当 x 逼近负无穷大时，(1/3)^x 也趋向于正无穷大，因此函数也发散。
值得注意的是，当 a = 1 时，幂函数为常函数 f(x) = 1，不满足发散定义。

幂函数是指形如f(x) = ax^b的函数，其中a和b是实数且a不等于0。幂函数的发散定义是指当x趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋于正无穷大或负无穷大。

具体而言，当b大于0时，随着x的增大，函数值也会增大；当b小于0时，随着x的增大，函数值会趋近于0。因此，幂函数的发散定义是指函数在某些情况下会趋于无穷大或无穷小。

幂级数收敛就是其部分和当n趋于无穷时极限存在,

发散就是极限不存在.

简单的说就是收敛的幂级数增长得慢,发散的幂级数增长的快.

求幂级数在收敛域内的和函数

表达式的这种写法很容易歧义啊, 猜测是∑{1 ≤ n} x^(n-1)·n/3^n.

首先用比值判别法或者根值判别法容易确定幂级数收敛半径为3.

且易见在端点x = ±3处级数发散, 因此收敛域为(-3,3).

幂级数在(-3,3)内闭(绝对)一致收敛.

和函数∑{1 ≤ n} x^(n-1)·n/3^n

= ∑{1 ≤ n} (x^n)'/3^n

= (∑{1 ≤ n} x^n/3^n)'

= (∑{1 ≤ n} (x/3)^n)'

幂级数可导性

幂级数在其收敛区间内是可导的。对于幂级数∑(an*x^n)，如果其收敛半径R > 0，则在区间(-R, R)内，幂级数是无限次可导的。这意味着在该区间内，可以对幂级数进行逐项求导。导函数是原幂级数的逐项导数，即∑(n*an*x^(n-1))。这个结果可以通过幂级数的逐项求导定理来得到。然而，需要注意的是，幂级数的导函数的收敛半径可能小于原幂级数的收敛半径。

幂函数在定义域内一定连续，但不一定可导。例如y=x^(1/3)在x=0处就是不可导的

e^x为什么收敛

需要看你的x趋近那个方向，若趋近负无穷，则该函数趋近于零。若趋近正无穷，则该函数趋近于无穷！

泰勒公式e^x收敛范围是-1≤x≤1，

不是所有的f(x)夫人收敛范围都是-1≤x≤1，

例如函数1/(x+1)在x=-1不收敛

函数1/(1-x)在x=1不收敛

收敛范围应该分收敛域和收敛区间

e^x展开成幂级数的收敛区间是（负无穷，正无穷）

函数f(x)展开成幂级数的收敛区间和收敛域都是要根据f(x)来求的，并不都是-1<x≤1

关于收敛区间的公式

收敛区间求解方法是：将区间分成两个幂级数，分别求收敛半径，取半径小的，计算收敛区间，把e代入f(x)得到f(x)=1-1+k=k，先凑微分，再用分部积分法。

收敛是一个经济学、数学名词，是研究函数的一个重要工具，是指会聚于一点，向某一值靠近。收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。经济学中的收敛，分为绝对收敛和条件收敛。绝对收敛，指的是不论条件如何，穷国比富国收敛更快。条件收敛，指的是技术给定其他条件一样的话，人均产出低的国家，相对于人均产出高的国家，有着较高的人均产出增长率，一个国家的经济在远离均衡状态时，比接近均衡状态时，增长速度快

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