幂级数展开式常用公式,常用函数幂级数展开式的公式

1. 幂级数展开式常用公式
2. 7个常用的幂函数的和函数
3. sinx的幂级数公式

幂级数展开式常用公式

幂级数展开式的常用公式：1/（1-x）=∑x^n。幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。

整数（integer）是正整数、零、负整数的集合。整数的全体构成整数集，整数集是一个数环。在整数系中，零和正整数统称为自然数。-1、-2、-3、…、-n、…（n为非零自然数）为负整数。则正整数、零与负整数构成整数系。整数不包括小数、分数。

幂级数展开式是数学中的一种展开形式，它可以将一个函数表示成无穷项的和的形式。以下是一些常见的幂级数展开式公式：

1. e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}

2. \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

3. \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}

4. \ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}

5. (1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n

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7个常用的幂函数的和函数

一、通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和函数S(x)计算幂级数的和函数，首先要记牢常用级数的和函数，再次基础上借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求和函数。

二、求通项为P(n)x^n的和函数，其中P(n)为n的多项式解法1、用先逐项积分，再逐项求导的方法求其和函数。积分总是从收敛中心到x积分。

三、求通项为x^n/P(n)的和函数，其中P(n)为n的多项式解法1、对级数先逐项求导，再逐项积分求其和函数，积分时不要漏掉S(0)的值。解法2、也可化为几何级数的和函数的积分求之。

四、含阶乘因子的幂级数（1）分解法：将幂级数一般项进行分解等恒等变形，利用e^x、sinx、cosx的幂级数展开式求其和函数。一般分母的阶乘为n!的幂级数常用e^x的展开式来求其和函数，分母的阶乘为(2n+1)!或(2n)!的幂级数常用sinx、cosx的展开式来求其和函数。

sinx的幂级数公式

sinx= ∑(-1)^n/(2n+1)!x^(2n+1) x∈(-∞,+∞)

cosx=∑(-1)^n/(2n)!x^(2n) x∈(-∞,+∞)

a^x=(e^lna)^x=(e^x)^lna=(∑x^n/n!)^lna

=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+……+（-1）^n x^(2n+1)/(2n+1)!+.... x∈R

有一个正弦的n阶导数公式如下：

sinx的n阶导＝sin（x＋n兀／2），所以x等于零时，n阶导值为：sin（n兀／2）＝0 ，n＝2m，＝ （一1）＾（m一1） n＝2m一1。

所以：sinx＝x一x＾3／3，（一1）＾（n一1）x＾（2n一1）／（2n一1）＋o（x＾（2n一1））。

函数展开成幂级数的一般方法是：

1、直接展开：对函数求各阶导数，然后求各阶导数在指版定点的值，从而求权得幂级数的各个系数。

2、通过变量代换来利用已知的函数展开式。

3、通过变形来利用已知的函数展开式。

4、通过逐项求导、逐项积分已知的函数展开式。

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