双曲函数的反函数（双曲函数的反函数推导）

1. 反双曲余弦函数的反函数
2. ch函数的反函数
3. 反双曲正弦定理
4. 反双曲余弦函数表达式
5. 双曲函数的推导过程

反双曲余弦函数的反函数

答：函数在不单调的情况下，欲求其反函数，可在其部分区间上求。

例如x的平方。

双曲余弦函数是偶函数，在实数集是没有反函数，通常所指的反双曲余弦函数是指在x大于零的区间上，易知。双曲余弦函数的值域为不小于根号二。所以当x大于零的前提下，你对求出来的根取正数，应该取大于1的那个，所以应该取正的。

因为y=[e^x+e^(-x)]/2≥1，所以e^y≥e； x-√(x^2-1)=1/[x+√(x^2-1)]≤1<e，故舍去（注意：|x|≥1）。

ch函数的反函数

chx=[e^x+e^(-x)]/2

y=[e^x+e^(-x)]/2

两边乘以2e^x

得

2ye^x=e^2x+1

e^2x-2ye^x+1=0

e^x=y±√(y²-1)

反双曲正弦定理

反双曲函数是双曲函数的反函数。记为（arsinh、arcosh、artanh等等）。与反三角函数不同之处是它的前缀是ar意即area(面积)，而不是arc(弧)。因为双曲角是以双曲线、通过原点直线以及其对x轴的映射三者之间所夹面积定义的，而圆角是以弧长与半径的比值定义。

反双曲余弦函数表达式

双曲函数

sinhx=[e^x-e^(-x)]/2

coshx=[e^x+e^(-x)]/2

另外四个用这两个导出。

反函数

arsinhx=ln[x+sqrt(x^2+1)]

arcoshx=ln[x-sqrt(x^2-1)]

双曲函数和三角函数有着很类似的性质，最本质的联系等你学过Euler公式就能推导了。

在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以次类推.

反双曲余弦函数记作y=arcoshx。

双曲函数y=coshx的定义是y=coshx= .那么，取它的反函数，最终得到反双曲余弦函数的定义是y=arcoshx= 。

反双曲余弦函数的定义域为 。它是非奇非偶函数。在区间 内单调增加。反双曲余弦函数的图像如图所示。

反双曲余弦函数的导数是 。不定积分是 （不包含不定积分特有的常数C）。

反双曲余弦函数的幂级数展开式是 ：

双曲函数的推导过程

双曲函数是指双曲正弦函数（sinh）、双曲余弦函数（cosh）、双曲正切函数（tanh）等。这些函数与三角函数有很多相似之处，但它们的定义和性质与三角函数有所不同。
一种推导双曲函数的方法是通过欧拉公式得到。欧拉公式表示为：\[ e^{ix} = \cos x + i\sin x \]其中，\(i\)是虚数单位（\(i^2 = -1\)）。
通过欧拉公式，我们可以得到双曲函数的定义如下：
双曲正弦函数：\[\sinh x = \frac {e^x - e^{-x}}{2}\]
双曲余弦函数：\[\cosh x = \frac {e^x + e^{-x}}{2}\]
双曲正切函数：\[\tanh x = \frac {\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\]
双曲函数的性质也可以通过欧拉公式推导得到。例如，通过欧拉公式，我们可以得到双曲余弦函数与双曲正弦函数之间的关系：\[\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\]这类似于三角函数的平方和恒等于1的性质。
在实际应用中，双曲函数可以用于描述曲线的形状，计算复杂的积分、微分等数学问题，以及在物理学、工程学和其他领域中的一些具体问题中的数学模型。

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