函数正交（函数正交的定义）

1. 什么是正交函数
2. 两函数正交有什么意义
3. 三个函数正交的条件是什么
4. 两个函数在区间上正交的条件
5. 标准正交特征函数

什么是正交函数

f和g是区间 I上的可积函数：

∫[ I]f(x)g(x)dx=0

则f和g为正交函数

另外在此补充正交函数系的定义：在三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于0，则称这样的三角函数组成的体系叫正交函数系。

严格地说,单个一个函数f（x）,不能说它是正交函数,正交函数的概念是定义在一个函数集上的概念,而且还必需明确指明该函数集所定义的区间以及直积.它确定的是这个集合里面元素之间的一种关系.但在上文已经定义了正交集的情况下,说某个函数是正交函数也是可以的.

两函数正交有什么意义

正交是线性代数的概念，是垂直这一直观概念的推广。作为一个形容词，只有在一个确定的内积空间中才有意义。若内积空间中两向量的内积为0，则称它们是正交的。如果能够定义向量间的夹角，则正交可以直观的理解为垂直。物理中：运动的独立性，也可以用正交来解释。

含义

换句话说，两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交，则记为α⊥β。

对于一般的希尔伯特空间，也有内积的概念，所以人们也可以按照上面的方式定义正交的概念。特别的，我们有n维欧氏空间中的正交概念，这是最直接的推广。

和正交有关的数学概念非常多，比如正交矩阵，正交补空间，施密特正交化法，最小二乘法等等。

另外在此补充正交函数系的定义：在三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于0，则称这样的三角函数组成的体系叫正交函数系。

公式

例如：三角函数系{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,……,cosnx,sinnx,……}

在区间[-π,π]上正交，就是指在三角函数系⑴中任何不同的两个函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于0，即

三个函数正交的条件是什么

一般来讲函数正交需要指明区间。比如f,g在[a,b]上正交意味着∫[a,b]f(x)g(x)dx=0而三个函数正交的意思是，他们两两正交.即fg;fh;gh在[a,b]上的积分均为零

两个函数在区间上正交的条件

所谓函数的正交性, 是将向量的正交性, 移植到了函数上

向量的正交性, 是指假设有两个2维向量A=(a1,a2),B=(b1,b2), 如果它们满足AB=a1b1+a2b2=0, 则称这两个2维向量正交.

由于本例是2维向量故只要对应相乘的两组相加等于零即可, 以此类推, n维向量需要对应相乘的n组相加等于零, 因此向量正交的相加组数是根据维数而定的, 向量的维数是几, 就有几组对应的元素相加.

而我们知道, 函数是一条连续的曲线, 它与向量的不同在于, 无论函数的定义域是否为无穷, 函数对应相加的组数都为无限多组, 即都为n多组(准确的说是n+1组) , 每两组在x轴上的差为dx.

两个函数正交, 表示两函数在某一区间上的每一组对应点都满足f(0)g(0)+f(1)g(1)+f(2)g(2)+...+f(x)g(x)=0

求函数在某一区间上的所有点之和, 很自然的, 就是用积分, 即上式化为∫f(x)g(x)dx=0

标准正交特征函数

如果是实对称矩阵，那么它的不同特征值的特征向量必然正交。

此时就不需要正交化了，只是单位化即可。

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