特征函数法使用条件,柯西分布的特征函数推导

1. 特征函数法使用条件
2. 柯西分布函数图像
3. 留数法公式

特征函数法使用条件

只要第n个矩存在，特征函数就可以微分n次，得到：

例如，假设X具有标准柯西分布。那么

。它在 t=0处不可微，说明柯西分布没有期望值。另外，注意到

个独立的观测的样本平均值

具有特征函数

，利用前一节的结果。这就是标准柯西分布的特征函数；因此，样本平均值与总体本身具有相同的分布。

特征函数的对数是一个累积量母函数，它对于求出累积量是十分有用的；注意有时定义累积量母函数为矩母函数的对数，而把特征函数的对数称为第二累积量母函数。[3]

柯西分布函数图像

柯西分布是一个数学期望不存在的连续型分布函数，它同样具有自己的分布密度，满足 分布函数F(X)=1/2+1/π*arctanx,-∞

留数法公式

比如，f(z)=1/[z·(z-1)²]

求：1.res[f(z),0]2.res[f(z),1]

1.把f(z)在圆环域：0＜|z|＜1内展开成洛朗级数：

f(z)=1/z·1/(z-1)²=1/z·(1+2z+3z²+……)

展开式的C(-1)=1

可以设为a/s+(bs+c)/(s^2+2s+4)

通分后分子为[(a+b)s^2+(2a+c)s+4a]=4

所以a=-b=-c/2=1，b=-1，c=-2

所以为1/s-(s+2)/(s^2+2s+4)

扩展资料

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:

一、将方程右边化为( 0)

二、方程左边分解为(两个 )因式的乘积

三、令每个一次式分别为( 0)得到两个一元一次方程

四、两个一元一次方程的解，就是所求一元二次方程的解。 

留数定理公式：f(z)=1/[z·(z-1)²] 。在复分析中，留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分。它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。

在计算柯西分布的特征函数时会出现，用初等的微积分是不可能把它计算出来的。把这个积分表示成一个路径积分的极限，积分路径为沿着实直线从−a到a，然后再依逆时针方向沿着以0为中心的半圆从a到−a。取a为大于1，使得虚数单位i包围在曲线里面。

到此，以上就是小编对于柯西分布的特征函数推导的问题就介绍到这了，希望介绍的3点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。