变限积分函数求导公式（变限积分求导公式）

1. 关于变限定积分的导数计算方法
2. 变限积分求导公式
3. 变上限积分的求导公式
4. 双重变限积分求导公式

关于变限定积分的导数计算方法

这里我们讲一讲关于变限定积分的导数计算方法。

1、求导依据。如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分变上限函数在[a,b]上具有导数。

2、下限为常数，上限为函数类型。对于这种类型只需将上限函数代入到积分的原函数中去，再对上限函数进行求导。对下面的函数进行求导，只需将“X”替换为“t”再进求导即可。

变限积分求导公式

上限为a(x),下限为b(x)

y=(a(x),b(x))∫f(t)dt

已知f(x)原函数是F(x),F'(x)=f(x)

（观察y=(a,b)∫f(t)dt=F(a)-F(b),括号里跟着代入就行了）

所以

y=(a(x),b(x))∫f(t)dt=F[a(x)]-F[b(x)]

两边求导

y'=(F[a(x)])'-(F[b(x)])'=F'[a(x)]a'(x)-F'[b(x)]b'(x)

积分变限函数是一类重要的函数，它最著名的应用是在牛顿一莱布尼兹公式的证明中．事实上，积分变限函数是产生新函数的重要工具，尤其是它能表示非初等函数，同时能将积分学问题转化为微分学问题。

积分变限函数除了能拓展我们对函数概念的理解外，在许多场合都有重要的应用

变上限积分的求导公式

变上限积分求导计算公式：g'（x）=lim[∫f（t）dt-∫f（t）dt]/h。

根据映射的观点，每给一个x就积分出一个实数，因此这是关于x的一元函数，记为g(x)=∫f(t)dt（积分限a到x），注意积分变量用什么符号都不影响积分值。

变限积分求导公式g'(x)=lim[∫f(t)dt-∫f(t)dt]/h。



1、积分变上限函数和积分变下限函数统称积分变限函数。φ（x）就表示从a到x00，f（t）所围成的面积。随着x的不断变化，φ的值是不断变化的，所以φ是x的函数，而t，只是随着x的变化，不断从a但x。由此看来，变量t的作用是避免混淆，其范围为a到x。



2、上式为积分变上限函数的表达式，当x与a位置互换后即为积分变下限函数的表达式。变上限积分的求导及拓展若（a，b）间是一个函数g（x）时，积分形式是∫ag（x）f（t）dt=f（g（x））g’（x）。



3、变限积分是由定积分来定义的；其次，这个函数的自变量出现在积分上限或积分下限。当f(x)在区间[a,b]上连续时,则 f(t)dt,x E[a,b],是f(x)在区间[a,b]上的一个原函数2当f(x)在区间[a,b]上存在间断点，且其有原函数。

双重变限积分求导公式

双重变限积分的求导公式为：

\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt=\frac{d}{dx}b(x)f(b(x))-\frac{d}{dx}a(x)f(a(x))

其中，a(x)和b(x)是关于x的函数，f(t)是关于t的函数。

这个公式的推导可以通过对变限积分的求导公式进行复合得到。具体地，对于一个变限积分\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt，我们可以将其看作是一个复合函数F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt，其中F(x)是关于x的函数，a(x)和b(x)是关于x的函数，f(t)是关于t的函数。

根据复合函数的求导法则，对于复合函数F(x)=f(g(x))，它的导数为F'(x)=f'(g(x))\times g'(x)。

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