数列极限的保号性,函数极限的保号性怎么理解

1. 数列极限的保号性
2. 连续函数的保号性
3. 保号性定理与推论

数列极限的保号性

首先数列极限的保号性就是，如果一个数列从第n项开始，每一项都是正数或负数，那麼当这个数列收敛时，极限也是正数或负数。反过来，如果一个数列极限正数或负数，那么从某一项开始，数列所有项都是正数或负数。数列极限的保号性其实是函数极限保号性的一种特例。即自变量不再是x，而是n，即自然数。但是也有一种特例，比如an=(-1)^n×(1/n).它的极限是0，但的an是一正一负交替出现，所以没有保号性。

数列极限有保号性。这是因为若数列 {an} 收敛于 a，而又有 bn ≥ an（或 bn ≤ an），则数列 {bn} 也收敛于 a，且其极限不大于 an（或不小于 an）。

这一结论可以用极限的定义和数学归纳法进行证明。同时，保号性的应用非常广泛，例如在查找算法和数理统计中都有重要的应用。

连续函数的保号性

对于连续函数f（x），若f（a）>0,则存在δ>0,使得当x∈（a-δ,,a+δ)时，f（x)>0

上面的>也可改成<

这其实是函数连续性的定义和极限的保号性决定的，从图像上也可以很容易体会出来

扩展资料：

保号性是指满足一定条件（例如极限存在或连续）的函数在局部范围内函数值的符号保持恒正或恒负的性质。

局部保序性 是函性质数极限的重要性质之一，它是局部保号性的一个推广。以下只就  的情况作叙述。

定理 设  ，  ，若  ，则存在  点的某个去心邻域，在此邻域内恒有  。

设  ，若存在  点的某个去心邻域，在此邻域内恒有  。则  。

这个定理可以直接证明，也可以作了辅助函数  后利用局部保号性来证明。

保号性定理与推论

函数极限局部保号性是指满足一定条件（例如极限存在或连续）的函数在局部范围内函数值的符号保持恒正或恒负的性质。函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等.

保号性：是满足一定条件（例如极限存在或连续）的函数在局部范围内函数值的符号保持恒正或恒负的性质

局部保号性指的就是如果函数在某一点的极限不等于零，那么在这个点的临近（就是定理中的空心邻域），函数具有保持符号（与极限的符号相同）的性质.有时，我们会遇.

保号性：若有：lim(n->∞) xn=A,A>0，则存在N>0，使当n>N时，有xn>0；小于零的情况类似这个定理其实很容易去理解的，因为它说明了一个理所当然的事实：一数列极限.

举个例子，比方说x→x0时，f(x)极限为1，那就说明，当x与x0很近时，f(x)的函数值必然会大于1/2。其实不光可以做出这个推论，还可以进一步，f(x)的值不仅可以大于1/2，还可以大于2/3，3/4，99/100等，总之介于(0,1)之间的任何一个确定数，f(x)在某一邻域内都比它大。

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