三角函数泰勒展开（三角函数泰勒展开公式）

1. sin的打开式
2. 指数函数和三角函数的转换
3. 三角函数arctan公式

sin的打开式

sinx用泰勒公式展开是sinx=x-1/3！x^3+1/5！x^5+o（x ^5）。

sinx的泰勒展开式是不固定的，sin(sinx)∽x，设sinx=t，则sint~t，所以sint~t~sinx~x，由等价无穷小的传递性，因此泰勒展开为x，也可以直接算，求五次导数，可以解出除了x项以外都是0。

指数函数和三角函数的转换

高等代数中使用欧拉公式将三角函数转换为指数(由泰勒级数易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

cosα=1/2[e^(iα)+e^(-iα)]

sinα=-i/2[e^(iα)-e^(-iα)]

泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… 此时三角函数定义域

三角函数arctan公式

三角函数 arctan（反三角函数）是一个以角度为自变量，以 π/2 为分界点的反正切函数。它的值域在 (-π/2, π/2]，表示的角度范围是 (-π/2, π/2)。

arctan(x) 的公式如下：

arctan(x) = tan(x / 2)

其中，x 是角度，范围在 (-π/2, π/2)，tan(x) 是 x 对应的正切函数。正切函数在 x 为正数时，值域是 [-π/2, π/2)。因此，arctan(x) 的值域也是 [-π/2, π/2]。

需要注意的是，arctan(x) 在计算过程中可能会受到负值的影响，所以在计算时请确保函数的自变量是正值。

计算公式：arctan(x) = ∫(0, x) 1/(1+t^2) dt

在数学中，arctan函数是一个反三角函数，表示正切函数的反函数。它的定义域为实数集，值域为[-π/2, π/2]。arctan函数的计算公式为arctan(x) = ∫(0, x) 1/(1+t^2) dt。

这个公式的意义是，对于任意实数x，arctan(x)表示从0到x的正切函数的积分。这个积分可以用数值积

分的方法来计算，也可以用泰勒级数展开的方法来计算。无论采用哪种方法，都需要注意计算精度，避免误差的积累。

arctan 所有公式有: tan ( arctana )= a ; arctan (-×)- arctanx ; arctanA + arctanB = arctan ( A + B )/(1-AB); arctanx + arctan (1/x)= m /2。反三角函数中的反正切,一般大学高等数学中有涉及。

反三角函数并不能狭义的理解为三角函数的反函数,是个多值函数。它是反正弦 Arcsinx ,反余弦 Arccosx ,反正切 Arctanx ,反余切 Arccotx 这些函数的统称,各自表示其正弦、余弦、正切、余切为×的角。

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