极大似然函数（求指数分布的最大似然估计量）

1. 似然函数和极大似然函数
2. 求指数分布的最大似然估计量
3. 极大似然法通俗解释

似然函数和极大似然函数

假设样本x1~xn独立同分布，具有概率密度函数p(xi;α) (1<=i<=n)，其中α为要估计的参数 则似然函数即为这n个样本的联合密度函数，由独立性有似然函数为： L(α)=Πp(xi;α) Π表示从下标i=1到i=n的连乘，由于样本值x1~xn已确定，而α是未知的有待估计的参数，所以我们将这个联合密度函数看作α的函数 极大似然估计方法是求α使得L(α)最大，因此常常将L(α)关于α求偏导再令其等于0，然后解出这个方程中的α 由于很多种随机变量分布的概率密度函数p(xi;α)都是指数族形式，这时我们转而利用对数似然函数求极大似然估计会比较方便，故定义对数似然函数为： l(α)=ln L(α)=Σln p(xi;α) 由于l(α)与L(α)的单调性相同，故它们取极大值时对应的α也相同。

似然函数（likelihood function）是统计学中用来描述参数的概率分布的函数。似然函数给出了在给定一组数据的情况下，参数取值的可能性大小。
极大似然函数（maximum likelihood function）是似然函数的一种计算方法。极大似然函数通过找到使似然函数取得最大值的参数值来估计参数的值。
具体来说，似然函数是由参数θ给定的条件下，观测到的数据D的概率分布P(D|θ)。极大似然函数则是找到使得似然函数P(D|θ)最大化时的参数θ的值。
为了求解极大似然估计，常用的方法是将似然函数对参数θ求导，然后令导数等于0，求解得到使似然函数最大的参数值。

求指数分布的最大似然估计量

P(X=xi)=C(m,xi)*p^xi*(1-p)^(m-xi)

所以极大似然函数：

L(x1,x2……xn,p)=C(m,x1)*C(m,x2)……*C(m,xn)*p^(∑xi)*(1-p)^(mn-∑xi)

取对数lnL=ln(C(m,x1)*C(m,x2)……*C(m,xn))+(∑xi)lnp+(mn-∑xi)ln(1-p)

对p求导

d(lnL)/dp=(∑xi)/p-(mn-∑xi)/(1-p)

在p=(∑xi)/mn时，d(lnL)/dp=0，且此时L取最大值

所以p的极大似然估计是p=(∑xi)/mn

极大似然法通俗解释

极大似然估计，通俗理解来说，就是利用已知的样本结果信息，反推最具有可能（最大概率）导致这些样本结果出现的模型参数值

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