依函数收敛（依lp收敛）

1. 依坐标收敛什么意思
2. 依概率收敛问题
3. 依概率收敛就是收敛吗
4. vitali定理
5. 卢辛定理

依坐标收敛什么意思

依测度收敛(convergence in measure)是实变函数论中重要的收敛概念之一。

设{f}(x)}是定义在可测集E上几乎处处有限的可测函数列，f(x)是E上几乎处处有限的可测函数，若对任给，有则{f}(x)}称为依测度收敛于f (x).这个概念经过推广，在概率论中也有用.

依坐标收敛是指当一个数列的每个分量都依次逼近某个数值时，这个数列就被称为按坐标收敛。更具体地说，设数列为 {a_n}，如果存在一个点 (x,y) 使得当 n 趋向于无穷大时，数列的第 n 项可以表示为 (x_n, y_n)，并满足 lim(x_n) = x，lim(y_n) = y，那么这个数列就是依坐标收敛到点 (x,y)。

依概率收敛问题

依概率收敛于 E(X²)=D(X)+E²(X)=2+4=6E[Σ(Xi-X均值)²/(n-1)]=s²=no²/(n-1)E[Σ(Xi-X均值)²]=no²

依概率收敛就是收敛吗

不是的。

依概率收敛是随机收敛，不一定完全收敛。如果一个随机变量序列依概率收敛到某一个随机变量，则它们也一定依分布收敛到这个随机变量。反过来则不然：只有当一个随机变量序列依分布收敛到一个常数的时候，才能够推出它们也依概率收敛到这个常数。

vitali定理

维塔利收敛定理是有关积分具有等度绝对连续性的一列函数积分号下取极限的定理。这是维塔利(Vitali,G.)于1907年得到的一个结果的推论。

定理

若m(E)<+∞，{fn(x))是E上可积函数列，且依测度收敛于f(x)，又{fn(x)}的积分具有等度绝对连续性，则f(x)是可积函数，且

应用

一般情况下，在证明勒贝格控制收敛定理时没有用到维塔利收敛定理。事实上，可以利用维塔利收敛定理来证明勒贝格控制收敛定理。

卢辛定理

该定理是实分析的定理。约略来说，这定理指可测函数差不多是连续函数。

一维形式

设是可测函数，对任何，都存在紧致集E，使得，而且f限制到E上是连续函数。此处是勒贝格测度。[1]

证明

因为f可测，所以在一个测度任意小的开集以外，f是有界函数。在开集上重定义f为0，那么f在[a,b]上有界，因而是可积函数。因为连续函数在可积函数的空间中稠密，存在连续函数序列依L范数收敛至f，即。故此有子序列几乎处处收敛至f。从叶戈罗夫定理可知，除了一个测度任意小的开集外，一致收敛至f。因为连续函数的一致收敛极限仍是连续的，故此f在此开集外连续。取E为以上两个开集的并集在[a,b]中的补集，那么原本的f在E上连续。

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