可积不可求积的函数（可积不连续的函数）

1. 不可积函数怎么算
2. 可积不连续的函数
3. 为何有的函数 不连续 它也可积

不可积函数怎么算

求解

∫f（x）d x=F（x）+C，设F（x）是函数f（x）的一个原函数，

我们把函数f（x）的所有原函数F（x）+ C（其中，C为任意常数）叫做函数f（x）的不定积分，

又叫做函数f（x）的反导数，记作∫f（x）dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f（x）d x=F（x）+C。

其中∫叫做积分号，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量。

求已知函数的不定积分的过程，叫做对这个函数进行不定积分。

超越积分

超越积分(通常也称为不可积),也就是说这个积分的原函数不能用我们所学的任何一种函数来表示.但如果引入新的函数erf(x)=∫[0,x]e^(-t^2)dt,那么该函数的积分就可表示为erf(x)+c.

道理很简单,比如∫x^ndx,一般的该积分为1/(n+1)x^(n+1),如果不引入lnx,那么∫1/xdx就不可积了.因此对于一些积分,如果不引入新的函数,那么那些积分就有可能不可积,而且这种情况还会经常遇到.因此对于一些常见的超越积分,一般都定义了相关的新函数.

下面就介绍几个常见的超越积分(不可积积分)

1.∫e^(ax^2)dx(a≠0)

2.∫(sinx)/xdx

3.∫(cosx)/xdx

4.∫sin(x^2)dx

5.∫cos(x^2)dx

6.∫x^n/lnxdx(n≠-1)

1. 不可积函数不能通过传统意义下的积分求出其面积或定积分值，因为其无法使用黎曼积分或勒贝格积分来定义。

2. 不可积函数也称为瑕积分函数，它们在实际运算中通常需要使用广义积分或者瑕积分来进行计算。

3. 对于不可积函数，我们需要通过一些数学技巧和转化，将其转化为可积函数或者在特定条件下使用近似计算的方法来进行计算。

可积不连续的函数

f(1/n)=1/n,n是自然数，其它值为0，则f在(0,1)上可积，积分为0。

还有一个更特殊的函数，黎曼函数，x=p/q，p、q互素时，f(x)=1/q，x是无理数时f(x)=0。f(x)在无理数点处连续，有理数点处不连续。f(x)黎曼可积，任意区间上积分为0

举个简单的例子吧。

函数f（x）=1（当0≤x＜1时），=2（当1≤x＜2）时。

这个分段函数是不连续的。但是在定义域[0，2]这个区间，是可积分的。

为何有的函数 不连续 它也可积

有跳跃间断点的函数的变上限积分函数连续的。变上限积分函数应该出现的是类似于|x|这样分段的函数，分段点连续，但是不可导的情况。

所以如果是有第二类间断点，如无穷间断点，震荡间断点，是有可能（但也只是有可能，不是一定）不可积。而如果是有限个第一类（无论是跳跃间断点，还是可去间断点），都必然是可积的。

函数可积的充分条件：

1、定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

2、定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个第一类间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

3、定理3设f(x)在区间[a,b]上单调有界,则f(x)在[a,b]上可积。

可积函数的有界

任何一个可积函数一定是有界的，但是需要注意的是，有界函数不一定可积。在其定义域上的每一点都不连续的函数。狄利克雷函数是处处不连续函数的一个例子。

若f(x)为一函数，定义域和值域都是实数，若针对每一个x，都存在ε>0 ，使得针对每一个δ>0，都可以找到y，使下式成立，则f(x)为处处不连续函数：0< |x−y|<δ 且|f(x)−f(y)|≥ε。

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