正态分布的函数（正态分布的函数公式）

1. 对数正态分布公式
2. 标准正态化的公式
3. 正态分布平方后是什么函数
4. 正态分布函数的反函数

对数正态分布公式

如果 X 是正态分布的随机变量,则 exp(X) 为对数分布；同样,如果 Y 是对数正态分布,则 ln(Y) 为正态分布.

对于 x > 0,对数正态分布的概率分布函数为

其中 μ 与 σ 分别是变量对数的平均值与标准差.它的期望值是

方差为

给定期望值与标准差,也可以用这个关系求 μ 与 σ

标准正态化的公式

正态分布标准转化公式：F(x)=Φ[(x-μ)/σ]，标准正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

期望值μ=0，即曲线图象对称轴为Y轴，标准差σ=1条件下的正态分布，记为N(0，1)。正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是位置参数均数为0，尺度参数：标准差为1的正态分布。

正态分布平方后是什么函数

X的平方可看作X的函数。正如我们所学，若X服从标准正态分布，则他的函数也应服从标准正态分布，概率密度函数是一样的。这样X方的期望和方差由书中公式亦可求。关键是若X是样本，则X方的西格玛和服从x方分布，概率密度函数见课本。比较复杂。

正态分布函数的反函数

正态分布的反函数被称为逆正态分布函数（Inverse Gaussian Distribution Function）或高斯逆变量函数（Gaussian Inverse Variable Function）。
数学上，逆正态分布函数表示为：
\[x = \mu + \sigma \Phi^{-1}(p)\]
其中，$x$是逆正态分布的变量，$\mu$是正态分布的均值，$\sigma$是正态分布的标准差，$\Phi^{-1}(p)$是标准正态分布的反函数，也称为百分位点函数。
逆正态分布函数的计算可以使用一些数学软件或统计软件实现，如R语言中的`qnorm`函数、Python中的`scipy.stats.norm.ppf`函数。这些函数可以根据给定的概率值$p$，返回逆正态分布函数的值$x$。

一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x）。则y=f（x）的反函数为y=f^-1（x）。 　　存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的) 　　【反函数的性质】 　　（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称； 　　（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； 　　（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； 　　（4）一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f（x）=a（x=0）它的反函数是f（x）=0（x=a）这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 　　(5)一切隐函数具有反函数； 　　(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； 　　（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。 　　（8）反函数是相互的 　　（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） 　　(10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定）

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