函数与极限笔记（函数求极限什么时候需要分左右）

1. 函数在某点的连续性和函数的极限，两者的区别是什么呢
2. 函数求极限什么时候需要分左右
3. 函数中的极限，顶点，最大值。它们的关系是什么？区别又是什么？求别贴定义概念谢谢。最好举例
4. 极限的保序性定理
5. 函数在一点连续的定义

函数在某点的连续性和函数的极限，两者的区别是什么呢

简单的说连续性就是在一定的取值范围内自变量的任意取值都有意义与一个对应的值，而函数的极限就是指自变量在指定的那一个值函数没有意义，而当自变量在从正方向和负方向无限靠近那个值的时候函数就会无限的接近但不等一个值，这个值就是该函数在该点的极限值的极限值。

总的来说连续函数没有极限；而在那个有极限的点，函数没有连续性。

连续性是针对一段函数来说的，而极限是就一点来说的。

函数求极限什么时候需要分左右

在求极限的时候，当位于左上方的时候，这种情况下要分左右极限。因为求极限的思路和进行几何分解的情况完全相同，所以我们求极限的时候，只有当确定目标的后，必须要分左右方向。

函数中的极限，顶点，最大值。它们的关系是什么？区别又是什么？求别贴定义概念谢谢。最好举例

他们没有直接关系：

1、极限指的是横坐标趋向某个值时的函数值，可能是顶点，最大值，也可能什么都不是

2、顶点是导数值为0的点，或者说顶点处切线斜率为零，可能是最大值，也可能是最小值，也可能只是个极值（局部最大或最小值）。

极限的保序性定理

保序性是保号性的推广，例如局部保序性是局部保号性的一个推广。

当要正面的结论是关于函数及其导数之间关系时都可以考虑应用函数极限的保序性，但是在应用时一定要注意，保序性本身和极限的有界性一样。

同样是局部保序性，换句话来说，无论是定理本身或推论，其结论都是在点x₀附近才成立的，而距离点较远的点不一定成立。

函数在一点连续的定义

1.函数连续性的定义: 设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,若 lim(x→x0)f(x)=f(x0), 则称f(x)在点x0处连续。

若函数f(x)在区间I的每一点都连续,则称f(x)在区间I上连续。

2.函数连续必须同时满足三个条件：

（1）函数在x0 处有定义；

（2）x-> x0时，limf(x)存在；

（3）x-> x0时，limf(x)=f(x0)。则初等函数在其定义域内是连续的。间断点的定义：间断点是指：在非连续函数y=f(x)中某点处xo处有中断现象，那么，xo就称为函数的不连续点。间断点可以分为无穷间断点和非无穷间断点，在非无穷间断点中，还分可去间断点和跳跃间断点。

如果极限存在就是可去间断点，不存在就是跳跃间断点。1.可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。

如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处。

2.跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。

如函数y=|x|/x在点x=0处。3.无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。

连续性是函数的一个性质 简单点说就是函数的极限值等于函数值 连续相对的就是间断 通俗的理解就是那条线中间没有间断的

函数在x=x0处有定义，就是f(x0)存在。

通俗的说，就是自变量取x0时，函数等于某一个确定的数。

如y=(x-2)/(x-4)，在x=4处无定义（因为f(4)不存在），在x=2处有定义（因为f(2)=0，是确定的数）

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