函数有界性定理（极限的有界性定理）

1. 多元函数有界性定理
2. 极限的有界性定理
3. 怎么判断是否为有界函数啊

多元函数有界性定理

如果x∈R,那么

　　|sinx|≤1,|cosx|≤1，

　　这就是三角函数的有界性。

　　三角函数的重要性质之一，解题时如果从有界性入手，往往能帮助我们明确解题方向，找到解题的突破口，从而使问题顺利解决；而当解题时出现问题，想到有界性往往有助于我们发现问题。

需使用3个定理如下：

定理1：任意数列{Ut}满足：m≤Ut≤n， 则有{Ut}的子列{U（t（s））}收敛。

定理2：[m,n]中的所有有理数可记为 数列{Rt}。

定理3：[m,n]中的所有数x， 有[m,n]中有理数列{At}，使 x=Lim{t→∞}At=x 1。设函数f于区间[m,n]内有连续 设[m,n]中的所有有理数数列{Rt}（定理2）， 定义数列{Pt}，使Pt=Rs， 满足：f（Pt）=Max{f（Rs），1≤s≤t} 由定理1得：有{Pt}的子列{Pt（s）}收敛， 设Lim{s→∞}Pt（s）=y。 2。任意：[m,n]中的数x，定理3得： 有[m,n]中有理数列{At}，使 x=Lim{t→∞}At=x。 ⅰ。对于任意ε>0，由f在x的连续性得：有 f（At）>f（x）-ε ⅱ。

由f在y的连续性得：有S，当s≥S f（y）>f（Pt（s））-ε ⅲ。At是[m,n]中的有理数，则 At=Ru，取v≥S，使 t（v）≥u，则有 f（Pt（v））=Max{f（Rs），1≤s≤t} ≥f（Ru）=f（At） ==》f（y）+ε>f（Pt（v））≥f（At）>f（x）-ε ==》f（y）≥f（x）==》 f（y）最大值。 3。同理f最小值.

极限的有界性定理

对于极限要明确一点，他是在某一点的名义在说一小段区间的故事。对于局部有限性来说也是这样，先看定义：

首先他告诉你，函数有极限，那么就一定有配套的ξ（可以看作是函数的子函数的定义域的一个条件，就是利用它可以推导出这个子函数的定义域），

当x满足这一条件的时候，那么函数有界，他的一个界为M（当然也可以取任意一个大于M的数作为一个新M，使得当x满足定义条件的时候，这个新M大于子函数的绝对值）。

你就会发现它的局部有限性，无外乎就是想表达这个意思：在x0的某一段邻域或者去心邻域内，如果他的极限存在（极限存在可以看作函数在向某一个值进行靠拢），那么函数在这一点附近的变化幅度不会太大，他一定是有界的。

如果要是放在整体来看，那就很明显就没有下界就不能叫做有界了。

怎么判断是否为有界函数啊

答:怎么判定函数是否有界的方法的答复是:中学阶段判定函数是否有界最直接的方法就是:计算函数在其定义域上是否有最（极）值……有就是有界函数，反之则不是。

犬学阶段还可以利用函数导数判别法确定

1、理论法：若f(x)在定义域[a,b]上连续，或者放宽到常义可积（有限个第一类间断点），则f(x)在[a,b]上必然有界。

2、计算法：切分(a,b)内连续，limx→a+f(x)存在limx→a+f(x)存在；limx→b−f(x)存在limx→b−f(x)存在 则f(x)在定义域[a,b]内有界。

3、运算规则判定：在边界极限不存在时，有界函数 ±± 有界函数 = 有界函数 （有限个，基本不会有无穷个，无穷是个难分高低的状态）有界 x 有界 = 有界。

4、函数极限判断：因为函数在开区间上连续，所以在开区间内部的任一闭区间上函数都有界。能不能再扩大到整个开区间上也有界，关键是看函数在右端点处的左极限和左端点处的右极限。二元连续函数的有界性定理：

到此，以上就是小编对于函数有界性定理证明的问题就介绍到这了，希望介绍的3点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。