常用幂函数展开（常用幂函数展开式）

1. sin的平方的级数
2. 七次函数
3. 幂函数求极限

sin的平方的级数

正弦函数的平方可以展开成级数形式。根据三角函数的性质，我们知道：

sin^2(x) = (1/2)(1 - cos(2x))

其中，cos(2x)可以展开成级数形式：

cos(2x) = 1 - (2x)^2/2! + (2x)^4/4! - (2x)^6/6! + ...

将cos(2x)的级数展开代入sin^2(x)的表达式中，可以得到sin^2(x)的级数形式：

sin^2(x) = (1/2)(1 - (1 - (2x)^2/2! + (2x)^4/4! - (2x)^6/6! + ...))

简化后，可以得到：

sin^2(x) = (1/2)(2x)^2/2! - (1/2)(2x)^4/4! + (1/2)(2x)^6/6! - ...

这是sin^2(x)的级数形式。

sin²x 展开成x的幂级数 sin²x=1/2-1/2cos2x=1/2-1/2Σ(n=0)(-1)^n（2x)^2n/(2n)!=Σ(n=1)(-1)^n-1(2x)^2n/(2x)!

七次函数

一般地，形如y=ax^7+bx^6+cx^5+dx^4+ex^3+fx^2+gx+h，且a≠0的函数，称为七次函数。在实际的数学应用中出现的很少。

中文名七次函数

外文名Seven-order Function

应用学科数学

定义域R

值域R

概念一般地，形如的函数，我们称之为七次函数。七次函数属于高次函数，其中为自变量，为的函数。对于七次函数，零点没有一般解法尽管如此，对不同函数的深入研究，可以增长我们的见识，锻炼思维，提高数学观念，学习新知，体验数形结合的乐趣。另外，在求函数的幂级数展开时，可能会在高阶要求下出现。

幂函数求极限

1. 确定极限式中幂函数的底数和指数，并将其化为指数函数的形式，即将底数取e为底，指数乘以ln底数。

2. 判断指数函数的极限，如果极限存在且不为0，则幂函数的极限也存在且不为0。

3. 如果指数函数的极限为0，则需使用洛必达法则或泰勒展开等方法进一步求解。

4. 如果指数函数的极限不存在或为无穷大，则幂函数的极限不存在或为无穷大。

例如，求lim(x->0) x^2sin(1/x)的极限：

幂函数是指形如 $f(x)=x^a$ 的函数，其中 $a$ 是实数常数。幂函数的极限求解需要分情况讨论，具体如下：

1. 当 $a>0$ 时，$\lim\limits_{x\to+\infty}x^a=+\infty$，$\lim\limits_{x\to-\infty}x^a=0$，即当 $x$ 趋向正无穷时，$x^a$ 趋向正无穷；当 $x$ 趋向负无穷时，$x^a$ 趋向 $0$。

2. 当 $a<0$ 时，$\lim\limits_{x\to+\infty}x^a=0$，$\lim\limits_{x\to-\infty}x^a=+\infty$，即当 $x$ 趋向正无穷时，$x^a$ 趋向 $0$；当 $x$ 趋向负无穷时，$x^a$ 趋向正无穷。

3. 当 $a=0$ 时，$\lim\limits_{x\to+\infty}x^a=1$，$\lim\limits_{x\to-\infty}x^a=1$，即当 $x$ 趋向正无穷或负无穷时，$x^a$ 均趋向 $1$。

需要注意的是，当 $a$ 为有理数时，可以使用幂函数的连续性和极限的运算法则求解极限；当 $a$ 为无理数时，需要使用数列极限的定义和夹逼定理等方法来求解极限。

到此，以上就是小编对于常用幂函数展开式的问题就介绍到这了，希望介绍的3点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。