怎样证明凸函数,凸函数定义如何证明

1. 怎样证明凸函数
2. 凸函数有最优解吗
3. 凸函数的几何意义
4. 凹函数与凸函数的判定方法

怎样证明凸函数

1. 利用二阶导数的定义：如果函数的二阶导数恒大于等于零，那么该函数是凸函数。具体而言，对于定义域内的任意 x，如果函数 f(x) 的二阶导数 f''(x) 大于等于零，则该函数是凸函数。

2. 利用 Jensen 不等式：如果对于定义域内的任意 x 和 y，以及 0≤θ≤1，有 f(θx + (1-θ)y) ≤ θf(x) + (1-θ)f(y)，则函数 f(x) 是凸函数。这个不等式表明函数的值在两个点的线段上，不超过这条线段连接的两个点在函数上对应点的值。

3. 利用一阶导数的定义：如果函数在定义域内的任意两点上连线上的值不超过这两点在函数上的对应值，那么该函数是凸函数。具体而言，对于定义域内的任意 x 和 y，如果 f(y) ≥ f(x) + f'(x)(y-x)，则该函数是凸函数。

凸函数有最优解吗

凸函数，是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。设f(x)在[a,b]上连续，若对[a,b]中任意两点x1，x2，恒有 f[(x1+x2)/2]>=[f(x1)+f(x2)]/2则称 f(x) 在[a,b] 上是向上凸的，简称上凸.f(x)是[a,b]上的凸函数。

很显然，凸函数有最优解。

凸函数的几何意义

几何意义是：

凸函数上的任意一点，我们作该点的切线，则该切线总是在函数图像的下方。因为在该定义下，我们只需要通过函数图像上的一点即可判断是否为凸函数。

凹函数与凸函数的判定方法

函数凹凸性的判断方法是：

看导数，代数上，函数一阶导数

 为负，二阶导数

 为正（或者一阶正，二阶负），便是凸的，一阶与二阶同号为凹。函数在凹凸性发生改变的点称为拐点

 ，拐点的二阶导数为0或不存在二阶导数。

1、凹函数

 定义：设函数y =f (x ) 在区间I 上连续，对x 1, x 2∈I ，若恒有f (则称y =f (x ) 的图象是凹的，函数y =f (x ) 为凹函数。

2、凸函数

 定义：设函数y =f (x ) 在区间I 上连续，对x 1, x 2∈I ，若恒有f (则称y =f (x ) 的图象是凸的，函数y =f (x ) 为凸函数。

扩展资料：

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