收敛函数例子（收敛函数例子有哪些）

1. 常见的收敛函数
2. 函数收敛的数学表达式
3. 什么是收敛函数

常见的收敛函数

常用收敛级数如下：

1、∑<1，∞>1/n^p，p>1收敛。（p-级数）

2、∑<1，∞>aq^(n-1)-1<q<1收敛（等比级数）

3、∑<1，∞>1/[n(n+1)]收敛。（可拆项级数）

4、∑<1，∞>1/n！收敛。

如果收敛指有界的话，发散指无界。那么有很多。

比如，正余弦函数，1/(x^2+1)等都是收敛的。

1/x，xsinx 都是发散的。

高数上册有一个不等式：

当x>0时，(x/(1+x))<1/ln(x+1)<x，

所以(1/ln(n+1))>(n/(1+n))，

而∑(n/(1+n))发散，所以∑(1/(ln(n+1)))发散

第二个也发散，用比较法的极限形式，

[(n/(2n+1))^n比(2n+1)/n)^n]=1而且极限趋于1，

而∑(2n+1)/n)^n因通项不趋于0发散，所以∑(n/(2n+1))^n发散

第三个收敛，方法与第四个相同。

级数1+5/2!+5^2/3!+5^3/4!...的通项是5^n/(n+1)!

用比值法，后项比前项为5^n/(n+1)!比5^(n-1)/n!

有三角函数，对数函数，指数函数，一次函数，二次函数等。

函数收敛定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。

函数收敛的数学表达式

高数上册有一个不等式：

当x>0时，(x/(1+x))<1/ln(x+1)<x，

所以(1/ln(n+1))>(n/(1+n))，

而∑(n/(1+n))发散，所以∑(1/(ln(n+1)))发散。

收敛函数：若函数在定义域的每一点都收敛,则通常称函数是收敛的.函数在某点收敛,是指当自变量趋向这一点时,其函数值的极限就等于函数在该点的值.有界函数：对于定义域中的任意一个值,相应的函数值都在一个区间内变化（也就是函数值的绝对值总小于某一个固定值）,那函数就是有界的.收敛函数一定有界（上下界分别就是函数的最大和最小值）但是有界函数不一定收敛,如f(x)在x=0处f(0)=2,在其他x处f(x)=1,那么f(x)在x=0处就不是收敛的,那么f(x)就不是收敛函数,但是f(x)是有界的,因为1≤f(x)≤2

什么是收敛函数

函数收敛是一个极限的概念。一般来说如果函数值在变量趋于无穷（无穷大或者无穷小）时趋于某一个有限值时，那么这个函数就是收敛的。在判断函数是否收敛时只需求它们的极限就可以了。

收敛函数定义：

关于函数f(x)在点x0处的收敛定义：对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

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