多元函数二阶偏导步骤（多元函数二阶偏导步骤图）

1. 二次偏导公式顺序
2. 高数：多元复合函数的求导法则

二次偏导公式顺序

二阶偏导数就是对函数关于同一个自变量连续求两次导数,即d(dy/dx)/dx因为对多元函数的某一自变量求偏导时，“假定”其它变量为“常数”。换句话说，对变量求偏导的先后次序，并不影响最终的求偏导结果。

不失一般性，设z=f(x²y,xy²)具有二阶连续偏导数，我们来证明∂²z/∂x∂y=∂²z/∂y∂x。

设u=x²y，v=xy²，则 ∂u/∂x=2xy，∂u/∂y=x²；∂v/∂x=y²，∂v/∂y=2xy。故有

∂z/∂x=(∂f/∂u)(∂u/∂x)+(∂f/∂v)(∂v/∂x)=2xy(∂f/∂u)+y²(∂f/∂v)

∂²z/∂x∂y=∂(∂z/∂x)/∂y=∂[2xy(∂f/∂u)+y²(∂f/∂v)]/∂y

=2x(∂f/∂u)+2xy(∂²f/∂u²)(∂u/∂y)+2y(∂f/∂v)+y²(∂²f/∂v²)(∂v/∂y)

=2x(∂f/∂u)+2x³y(∂²f/∂u²)+2y(∂f/∂v)+2xy³(∂²f/∂v²)

∂z/∂y=(∂f/∂u)(∂u/∂y)+(∂f/∂v)(∂v/∂y)=x²(∂f/∂u)+2xy(∂f/∂v)

∂²z/∂y∂x=∂(∂z/∂y)/∂x=∂[x²(∂f/∂u)+2xy(∂f/∂v)]/∂x

二次偏导公式的顺序是先求对第一个自变量的偏导数，再求对第二个自变量的偏导数，最后求对两个自变量同时求偏导数。

这个顺序是非常重要的，因为如果先对第二个自变量求偏导数，再对第一个自变量求偏导数，得到的结果可能会和先对第一个自变量求偏导数，再对第二个自变量求偏导数得到的结果不同。

这是因为二次偏导数的计算是基于函数的二阶导数计算的，而二阶导数的计算顺序一定要按照先求一阶导数，再求二阶导数的顺序来进行，否则会导致计算结果的不准确。

高数：多元复合函数的求导法则

与一元复合函数不同，多元复合函数的“复合”方式多种多样，这就使得多元复合函数求导的问题相应地比一元函数情形复杂。其实相同了很简单.

①对于中间变量为一元函数的情形:

使用换元法算外围的，然后在乘以内围的例Y=coS(SINX)的导把sinx看作T得V=--SINT再乘以 SINX的导得最终结果Y=--SIN(COSX)。

②中间变量为多元函数的情形:

举个例子:z=f(x+yxyx),u=x+y,v=xyo

dz/dx=(df/du)(du/dx)+(df/dv)(dv/dx)+df/dx(“d”表示偏导的符号)。

这里的df/dx,是把uy看作不变，仅仅是对 z=f(x+yxyx)中的第三个位置的x求导。

多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。多元函数的求导即偏导数，实际上和求导基本一样，就是把别的参数看作常数，然后对此参数进行求偏导数，链式法则显然不能少，其余的就是一般的导数公式。

多元复合函数的求导法则口诀

f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)，先对外层函数求导再依次往里推，举例求f(x)=sin(cosx)的导数，外层是sinx,内层是cosx,先对外层求导就是cos(cosx)，此时应注意内层函数不动。再乘以内层函数导数-sinx,因此结果是f'(x)=cos(cosx)(-sinx)。



复合函数

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