向量值函数求导（向量值函数求导法则）

1. 向量与导数的联系
2. 向量的正交化计算步骤
3. 切线方向向量计算方法
4. 矩阵的导数怎么求

向量与导数的联系

在某一点的法向量斜率和在该点的导数的乘积等于-1

导数和空间向量是没有关系的，导数是属于代数学里面的内容，空间向量属于几何学里面的内容

方向导数与法向量没有任何关系。

方向导数是有源场沿空间某一向量方向的梯度。

而法向量是一个空间向量，该向量可以垂直与某个已知的矢量正交。

向量的正交化计算步骤

有个简便方法。

施密特是一个可以给n个线性无关的向量正交化的方法。但是在实际考试中我们肯定用不到那么多个，一般n＝3.

比如在题目当中有3个线性无关的向量，那么就可以使用

方程组

来实现正交化。

首先，两个向量正交：求其内积，看是否为0，若为零，则正交。例子：a=(1,1,0),b=(1,-1,0)，则内积(a,b)=1*1+1*(-1)+0*0=0，所以a，b正交。向量组两两正交就是其任意两个向量都正交

方法/步骤

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给出两个向量：

a = {1, 2, 3}; b = {2, 3, 5};

要判断这两个向量是否正交，用点乘来验证：

a.b

如果运行结果不等于0，表示二者不垂直，也就不是正交关系。

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切线方向向量计算方法

切线方程是研究切线以及切线的斜率方程，涉及几何、代数、物理向量、量子力学等内容。是关于几何图形的切线坐标向量关系的研究。分析方法有向量法和解析法。

例题解析

Y=X2-2X-3在(0,3)的切线方程

解：因为点(0,3)处切线的斜率为函数在(0,3)的导数值，函数的倒数为：y=2x-2,

所以点(0,3)斜率为：k=2x-2=-2

一个向量的三个方向余弦分别是这向量与三个坐标轴之间的角度的余弦。两个向量之间的方向余弦指的是这两个向量之间的角度的余弦。每个分量分别求导， 由3个导数构成的向量即为切向量。曲线在一点处的切向量可以理解为沿曲线该点处切线方向的向量。

切向量是与曲线相切的向量，给定曲线C上一点P，Q是C上与P的邻近一点，当Q点沿曲线趋近于P时，割线PQ的极限位置称为曲线C在P点的切线。

直线是平面π1和π2的交线，平面π1的法向量n1=（－1，2，2）；

平面π2的法向量n2=（2，－3，5），于是

切线的方向向量=

|i j k|

|－1 2 2|

|2 －3 5|

=（10+6=16，4+5=9，3－4=－1）

=（16，9，－1）。

矩阵的导数怎么求

矩阵求导公式包括标量函数求导、矩阵乘法求导、矩阵转置求导等。其中，对于矩阵Y对列向量X求导，可以将Y对X的每一个分量求偏导构成一个超向量，注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。而矩阵Y对标量x求导相当于每个元素求导数后转置一下。此外，标量y对矩阵X的导数类似标量y对列向量X的导数，把y对每个X的元素求偏导不用转置。

1 矩阵\(Y=f(x)\)对标量x求导

矩阵Y是一个\(m\times n\)的矩阵，对标量x求导，相当于矩阵中每个元素对x求导

\[\frac{dY}{dx}=\begin{bmatrix}\dfrac{df_{11}(x)}{dx} & \ldots & \dfrac{df_{1n}(x)}{dx} \\ \vdots & \ddots &\vdots \\ \dfrac{df_{m1}(x)}{dx} & \ldots & \dfrac{df_{mn}(x)}{dx} \end{bmatrix}\]

2 标量y=f(x)对矩阵X求导

注意与上面不同，这次括号内是求偏导，\(X\)是是一个\(m\times n\)的矩阵，函数\(y=f(x)\)对矩阵\(X\)中的每个元素求偏导，对\(m\times n\)矩阵求导后还是\(m\times n\)矩阵

\[\frac{dy}{dX} = \begin{bmatrix}\dfrac{\partial f}{\partial x_{11}} & \ldots & \dfrac{\partial f}{\partial x_{1n}}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\\dfrac{\partial f}{\partial x_{m1}} & \ldots & \dfrac{\partial f}{\partial x_{mn}}\end{bmatrix}\]

到此，以上就是小编对于向量值函数求导法则的问题就介绍到这了，希望介绍的4点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。