复变函数中的可去奇点，极点，本性奇点是什么意思,本性有界函数与有界函数的区别与联系是什么?

1. 复变函数中的可去奇点，极点，本性奇点是什么意思
2. 毕卡大定理
3. 0为什么是z分之sinz的可去奇点
4. 复变函数中奇点的概念，或者定义

复变函数中的可去奇点，极点，本性奇点是什么意思

1：首先我们可以这么理解，在可去起点上，平面上逐渐起点的过程中输出值都比较接近，某个确定的负数z想象上就是对于起点附近的点，经过变换后都会分布在z附近。

2：而极点的话，是在平面上比较接近起点的过程中，输出值都往无穷远处跑，越靠近起点离圆心越远。

3：而本身起点在平面上更进一步接近方式会得到不同的极限。

毕卡大定理

本性奇点一个与其它孤立奇点本质的区别就是，本性奇点附近，函数可以取到任何值，每一个值可以取到无穷次。这就是毕卡大定理的结论。

1，本性奇点的特征：在之前的课程里，我们说明了，若 limz→af(z) 既不存在也不是无穷大，则 z=a 就是函数的本性奇点。

Weirstrass （魏尔斯特拉斯）首先证明了，复变函数在其本性奇点附近，可以趋近于任何值。

2，（Weirstrass）魏尔斯特拉斯定理：若 a 是函数 f(z) 的本性奇点，则任给正数 δ>0,ϵ>0 及任意复数 A（有限或者无限），在 0<|z−a|<δ 内有一点 z，使得 |f(z)−A|<ϵ 成立。

证明：（1）若 A=∞，定理正确。因为 f(z) 在 a 附近无界。否则， z=a 就是 f(z) 的可去奇点。（可去奇点的一个特征就是函数在它附近有界。）

（2）若 A 为有限数。我们可以用反证法来证明。假设存在有限数 A，使得 |f(z)−A|>ϵ 在 0<|z−a|<δ 内成立。令

F(z)=f(z)−Az−a

则

limz→aF(z)=∞

因为分子不趋近于 0 而分母 趋近于 0。所以 z=a 为函数 F(z) 的极点。所以 F(z) 在 z=a 附近可以展开成罗朗级数

0为什么是z分之sinz的可去奇点

z=0是z的一阶零点【定义可知】，是sin(z)的一阶零点【求导可证】，两式相除，分子分母零点阶数相同约去，只剩下一个解析函数，在z->0时只剩下C0项，一定是可去奇点

当z→1时,z-1→0,lim(z-1=0,sin(z-1)/z-1))=1,故z=1是sin(z-1)/z-1的可去奇点.

函数趋于奇点时有极限存在且为常数则是可去奇点,

函数趋于奇点时有极限为无穷大则为极点.

函数趋于奇点时极限不存在则为本性奇点.

复变函数中奇点的概念，或者定义

如果函数f(z)在z0及z0的邻域内处处可导，那么称f(z)在z0解析。

如果f(z)在区域D内每一点解析，那么称f(z)是D内的一个解析函数（全纯函数或正则函数）。

如果f(z)在z0不解析，那么称z0为f(z)的奇点。

如果函数f(z)虽在z0不解析，但在z0的某一个去心邻域0<|z-z0|<δ内解析，那么z0称为f(z)的孤立奇点。

如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项，那么孤立奇点z0称为f(z)的可去奇点。

如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项，且其中关于(z-z0)^(-1)的最高幂为(z-z0)^(-m)，那么孤立奇点z0称为函数f(z)的m级极点。

如果在洛朗级数中含有无穷多个z-z0的负幂项，那么孤立奇点z0称为f(z)的本性奇点。

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