大一高数复合函数例题（大一高数复合函数例题）

1. 高数复合分段函数经典例题

高数复合分段函数经典例题

一个经典的高数复合分段函数例题是求解以下题目：
设函数$f(x)=\left\{
\begin{aligned}
\sin x, & \quad x<0 \\
2x, & \quad 0 \leq x < 1 \\
x^2, & \quad x \geq 1 \\
\end{aligned}
\right.$
(1) 求函数$f(x)$的定义域；
(2) 求$f(x)$的导数；
(3) 求$f(x)$的极值点和极值；
(4) 判断$f(x)$的单调性和凸凹性。
解答：
(1) 函数$f(x)$的定义域为$x<0$和$0 \leq x < 1$和$x \geq 1$的交集，即定义域为$(-\infty, 1)$。
(2) 函数$f(x)$在定义域内的导数为：
$$f'(x)=\left\{
\begin{aligned}
\cos x, & \quad x<0 \\
2, & \quad 0 \leq x < 1 \\
2x, & \quad x \geq 1 \\
\end{aligned}
\right.$$
(3) 极值点和极值的求解：
首先考虑$x<0$的区间，由于$\cos x$的最大值为1，没有极值点；
然后考虑$0 \leq x < 1$的区间，$f'(x)=2$，因此没有极值点；
最后考虑$x \geq 1$的区间，求解$f'(x)=2x=0$，得到$x=0$，此时$f(x)=0$。
综上，$f(x)$的极值点为$x=0$，极值为$f(0)=0$。
(4) 单调性和凸凹性的判断：
对于$x<0$的区间，$f'(x)>0$，因此$f(x)$在此区间内为递增函数；
对于$0 \leq x < 1$的区间，$f'(x)=2$为常数，$f(x)$在此区间内为线性函数，不具备单调性；
对于$x \geq 1$的区间，当$x<1$时，$f'(x)>0$，$f(x)$在此区间内为递增函数，当$x \geq 1$时，$f'(x)>0$，$f(x)$在此区间内为递增函数。
综上，$f(x)$在$(-\infty, 1)$上是递增的，函数$f(x)$不具备凸凹性。

下面是一个经典的高数复合分段函数的例题：
设函数 $f(x)$ 满足以下条件：
(1) 当 $x < 0$ 时，$f(x) = 2x^2 - 3x - 1$；
(2) 当 $0 \leq x < 1$ 时，$f(x) = |x - 1|$；
(3) 当 $x \geq 1$ 时，$f(x) = x - 1$。
求 $f(-2), f(0), f(1)$ 和 $f(3)$ 的值。
解答：
根据题意，我们需要分别讨论 $x$ 的取值范围。
当 $x < 0$ 时，$f(x) = 2x^2 - 3x - 1$。代入 $x = -2$，可得 $f(-2) = 2(-2)^2 - 3(-2) - 1 = 13$。
当 $0 \leq x < 1$ 时，$f(x) = |x - 1|$。代入 $x = 0$，可得 $f(0) = |0 - 1| = 1$。
当 $x \geq 1$ 时，$f(x) = x - 1$。代入 $x = 1$，可得 $f(1) = 1 - 1 = 0$；代入 $x = 3$，可得 $f(3) = 3 - 1 = 2$。
因此，$f(-2)=13$，$f(0)=1$，$f(1)=0$，$f(3)=2$。

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