同阶函数（什么是同阶无穷大）

1. 泰勒公式的上下同阶原则
2. 什么是同阶无穷大

泰勒公式的上下同阶原则

是一种用于近似表示函数的方法，它可以将一个函数表示为一系列无穷多个项的和。在泰勒公式中，上下同阶原则是指在进行函数展开时，保留与展开点相同阶数的项。

具体来说，如果我们以x=ax=a为展开点，将函数f(x)f(x)在x=ax=a处展开成泰勒级数，那么上下同阶原则要求在展开式中只保留与(x-a)^n(x−a) 

n

 相同阶数的项。这意味着，如果我们希望展开到nn阶，那么只需要保留展开式中的nn次幂及其以下的项。

例如，对于一个函数f(x)f(x)在x=ax=a处展开到2阶泰勒级数，展开式可以表示为：

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdotsf(x)=f(a)+f 

′

 (a)(x−a)+ 

2!

f 

1. 泰勒公式的上下同阶原则是：当函数在某点处的导数存在且连续时，其泰勒展开式中相邻两项的阶数相同。
2. 这个原则的原因是，泰勒展开式是将一个函数在某点处展开成无穷项的多项式，每一项的系数与函数在该点处的导数有关。当函数在某点处的导数存在且连续时，其导数的阶数相同，因此每一项的阶数也应该相同，从而满足上下同阶原则。
3. 下面是一个具体的例子，以 $f(x)=\\sin x$ 在 $x=0$ 处展开为例：
首先，我们可以求出 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的导数：
$$f'(x)=\\cos x,\\quad f''(x)=-\\sin x,\\quad f'''(x)=-\\cos x,\\quad f^{(4)}(x)=\\sin x,\\quad \\cdots$$
然后，根据泰勒公式，$f(x)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为：
$$f(x)=\\sum_{n=0}^\\infty \\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\\sum_{n=0}^\\infty \\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$$
可以看到，每一项的阶数都是 $2n+1$，因此满足上下同阶原则。

什么是同阶无穷大

高阶无穷大:

若lim f(x)=∞且lim g(x)=∞(f(x)在极限附近处必须满足f(x)不等于0），当lim [g(x)/f(x)]=0，称f(x)是g(x)的高阶无穷大。

低阶无穷大:

若lim f(x)=∞且lim g(x)=∞(f(x)在极限附近处必须满足f(x)不等于0），当lim [f(x)/g(x)]=0，称f(x)是g(x)的低阶无穷大。

同阶无穷大:

若lim f(x)=∞且lim g(x)=∞(g(x)在极限附近处必须满足g(x)不等于0），当lim [f(x)/g(x)]=c(c为实数)，称f(x)是g(x)的同阶无穷大。

扩展资料:

无穷大:

设函数f(x)在x 0的某一去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合 不等式0<|x-x0|<δ，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M，则称函数f(x)为当x→x 0(或x→∞)时的无穷大。

无穷大量的性质:

到此，以上就是小编对于同阶函数定义的问题就介绍到这了，希望介绍的2点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。