张量函数（张量函数求导）

1. 张量的定义
2. 张量识别定理
3. 二阶张量物理意义

张量的定义

张量（tensor）理论是数学的一个分支学科，在力学中有重要应用。 张量这一术语起源于力学，它最初是用来表示弹性介质中各点应力状态的，后来张量理论发展成为力学和物理学的一个有力的数学工具。张量之所以重要，在于它可以满足一切物理定律必须与坐标系的选择无关的特性。张量概念是矢量概念的推广，矢量是一阶张量。张量是一个可用来表示在一些矢量、标量和其他张量之间的线性关系的多线性函数。

中文名张量

外文名Tensor

适用领域范围连续介质力学

应用学科力学、数学

提出时间1846年

提出者威廉·罗恩·哈密顿

张量（Tensor）是一个定义在一些向量空间和一些对偶空间的笛卡尔积上的多重线性映射，其坐标是|n|维空间内，有|n|个分量的一种量， 其中每个分量都是坐标的函数， 而在坐标变换时，这些分量也依照某些规则作线性变换。r 称为该张量的秩或阶（与矩阵的秩和阶均无关系）。

在数学里，张量是一种几何实体，或者说广义上的“数量”。张量概念包括标量、向量和线性算子。张量可以用坐标系统来表达，记作标量的数组，但它是定义为“不依赖于参照系的选择的”。

张量在物理和工程学中很重要。例如在扩散张量成像中，表达器官对于水的在各个方向的微分透性的张量可以用来产生大脑的扫描图。

可能最重要的工程上的例子就是应力张量和应变张量了，它们都是二阶张量，对于一般线性材料他们之间的关系由一个四阶弹性张量来决定。虽然张量可以用分量的多维数组来表示，张量理论存在的意义在于进一步说明把一个数量称为张量的涵义，而不仅仅是说它需要一定数量的有指标索引的分量。特别是，在坐标转换时，张量的分量值遵守一定的变换法则。张量的抽象理论是线性代数分支，现在叫做多重线性代数。

张量识别定理

张量识别（Tensor）是一个定义在的一些向量空间和一些对偶空间的笛卡儿积上的多重线性映射，其坐标是||维空间内，有||个分量的一种量，其中每个分量都是坐标的函数，而在坐标变换时，这些分量也依照某些规则作线性变换。r称为该张量的秩或阶（与矩阵的秩和阶均无关系）。

在同构的意义下，第零阶张量（r=0）为标量（Scalar），第一阶张量（r=1）为向量（Vector），第二阶张量（r=2）则成为矩阵（Matrix）。例如，对于3维空间，r=1时的张量为此向量：（x,y,z）。由于变换方式的不同，张量分成协变张量（CovariantTensor，指标在下者）、逆变张量

二阶张量物理意义

二阶张量可以说就是一种变换关系，还比如我们建立两个坐标系，那么同一个矢量在新系和旧系中表达的分量是不同的，那么它们在新旧坐标系中沿坐标分解的量就有一个对应关系，这种对应关系也就是二阶张量，而且一旦这两个坐标系确立了，这种对应关系是不变的，即任意矢量都满足这个二阶张量变化关系，这一点你可以用新旧基矢来理解。这样不知能否理解二阶张量是不变量，对于空间中的任意矢量，都可以被二阶张量映射到空间的另一个矢量。这种映射函数是唯一确定的。

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