默瑟定理,什么是正定函数的定义域

1. 默瑟定理
2. 如何证明函数是凸函数
3. QP算法

默瑟定理

Mercer 定理：任何半正定的函数都可以作为核函数。所谓半正定的函数f(xi,xj)，是指拥有训练数据集合（x1,x2,...xn)，我们定义一个矩阵的元素aij = f(xi,xj)，这个矩阵式n*n的，如果这个矩阵是半正定的，那么f(xi,xj)就称为半正定的函数。这个mercer定理不是核函数必要条件，只是一个充分条件，即还有不满足mercer定理的函数也可以是核函数。

常见的核函数有高斯核，多项式核等等，在这些常见核的基础上，通过核函数的性质（如对称性等）可以进一步构造出新的核函数。

SVM是目前核方法应用的经典模型。

如何证明函数是凸函数

对于一元函数f(x),我们可以通过其二阶导数f′′(x) 的符号来判断。如果函数的二阶导数总是非负,即f′′(x)≥0 ,则f(x)是凸函数。

对于多元函数f(X),我们可以通过其Hessian矩阵(Hessian矩阵是由多元函数的二阶导数组成的方阵)的正定性来判断。

QP算法

二次规划的一般形式

min ⁡ f ( x ) = 1 / 2 x T H x + c T x , x ∈ R n  s.t.  A x ≤ b

minf(x)=1/2xTHx+cTx,x∈Rn s.t. Ax≤b

​minf(x)=1/2xTHx+cTx,x∈Rn s.t. Ax≤b​
当H HH为对称矩阵时，被称为二次规划（Quadratic Programming，QP）。
特别地，当H正定时，目标函数为凸函数，线性约束下可行域又是凸集。上式被称为凸二次规划。

QP是一种最简单的非线性规划。QP有如下良好的性质，当H是半正定时：

K-T条件是最优解的充要条件。

局部最优解就是全局最优解。

pq形式的公式是x2+(p+q)x+pq=（x+q)(x+p)=x平方+xq+xp+qp=x平方+x(q+p)+qp。数学公式是人们在研究自然界物与物之间时发现的一些联系，并通过一定的方式表达出来的一种表达方法

到此，以上就是小编对于什么是正定函数的定义域的问题就介绍到这了，希望介绍的3点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。