二元函数可微性的判断方法总结,怎么证明二元函数可微分

1. 二元函数可微性的判断方法总结
2. 如何证明可微
3. 如何判断一个函数可微

二元函数可微性的判断方法总结

连续性 1、确定函数定义域 2、在定义域的端点和函数的特殊点,讨论其连续性,方法就是连续性的定义,在某点左,右极限是否存在,是否相等,且是否等于函数在该点的函数值,如果存在并相等则表示连续. 而对于区间上[a,b]的连续性而言,需要端点单侧连续,即在x=a处右连续,x=b处左连续.。

可微性 1、如果是一元的,只要函数可导便可微了,用可导的定义进行计算并判断即可. 2、如果是二元甚至多元的,求出函数的各个偏导数,且各个偏导数在该点连续,那么函数在该点可微.。 针对分段函数 ，实际上它的计算方法跟上面说的差不多,只是需要注意的是,在计算左右极限或左右导数的时候,它们用到的函数关系式是不一样的.

如何证明可微

若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。可微的必要条件：若函数在某点可微分，则函数在该点必连续；若二元函数在某点可微分，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx，当x= x0时，则记作dy∣x=x0。扩展资料：可微函数图像的特点：可微函数的图像在定义域内的每一点上必存在非垂直切线。因此，可微函数的图像是相对光滑的，没有间断点、尖点或任何有垂直切线的点。一般来说，若X是函数ƒ定义域上的一点，且ƒ′(X)有定义，则称ƒ在X点可微。这就是说ƒ的图像在(X, ƒ(X))点有非垂直切线，且该点不是间断点、尖点。

1.首先列出已知函数 f(x, y)，目的是判断该函数在 (0, 0) 点处的可微性。

2/5

接着求出 f(x, y) 函数在 (0, 0) 点处的两个偏导数。

3/5

再推导出 f(x, y) 函数在(x, y) 趋于 (0, 0) 时的极限。

4/5

根据夹逼原则，计算出函数极限的值为0。

如何判断一个函数可微

根据函数可微的必要条件和充分条件进行判定：

　　1、必要条件

　　若函数在某点可微分，则函数在该点必连续；

　　若二元函数在某点可微分，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

　　2、充分条件

　若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。

　　相关知识：函数在某点的可微性

　　设函数y= f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx，当x= x0时，则记作dy∣x=x0。

若函数在某点可微分，则函数在该点必连续；若二元函数在某点可微分，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

2、函数可微的充分条件若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。1、可微的几何意义就是曲面被平面所截所得点处切线的斜率。

2、若ƒ在X0点可微，则ƒ在该点必连续。特别的，所有可微函数在其定义域内任一点必连续。

逆命题则不成立：一个连续函数未必可微。

比如，一个有折点、尖点或垂直切线的函数可能是连续的，但在异常点不可微。

3、实践中运用的函数大多在所有点可微，或几乎处处可微。

但斯特凡·巴拿赫声称可微函数在所有函数构成的集合中却是少数。

这表示可微函数在连续函数中不具代表性。

人们发现的第一个处处连续但处处不可微的函数是魏尔斯特拉斯函数。

到此，以上就是小编对于怎么证明二元函数可微分的问题就介绍到这了，希望介绍的3点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。