反函数一定单调吗（反函数一定单调吗）

1. 函数单调反函数也单调
2. 为什么反函数可导要求原函数严格单调
3. 单调函数的反函数是单调的吗
4. 单调函数的反函数是否具有相同单调性
5. 为什么反函数不是偶函数

函数单调反函数也单调

原函数单调，则反函数也单调，这是对的，直接根据单调的定义就能知道。

但是原函数可导，不代表反函数可导。

例如原函数y=f（x），其反函数为y=g（x）

就只证明f（x）是单调增函数的情况，f（x）是单调减函数可以类似证明，就不证明了。

如果y=f（x）是单调增函数，证明y=g（x）也是单调增函数。

因为y=f（x）是单调增函数，所以对于任意不相等的x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）

因为y=g（x）是f（x）的反函数，所以对于任意不相等的y1＜y2，都有对应的x1＜x2（因为g（x）的y就是f（x）的x；g（x）的x就是f（x）的y）

假设y=g（x）不是单调增函数，即能找到两个不相等的x3＜x4有g（x3）≥g（x4）

如果等号成立，g（x）相同的函数值对应不同的自变量，那么f（x）就会出现同一个自变量对应两个函数值，和函数的定义不符，所以等号不能成立。

如果大于号成立，那么对于g（x4）＜g（x3）这两个函数值，对应的自变量x3＞x4，于前面知道的g（x）对于任意不相等的y1＜y2，都有对应的x1＜x2的性质矛盾

为什么反函数可导要求原函数严格单调

原函数严格单调说明原函数是连续函数，只有连续函数的反函数才可导。

原函数单调，则反函数也单调，这是对的，直接根据单调的定义就能知道。

但是原函数可导，不代表反函数可导。

例如原函数y=f（x），其反函数为y=g（x）

就只证明f（x）是单调增函数的情况，f（x）是单调减函数可以类似证明，就不证明了。

如果y=f（x）是单调增函数，证明y=g（x）也是单调增函数。

因为y=f（x）是单调增函数，所以对于任意不相等的x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）

因为y=g（x）是f（x）的反函数，所以对于任意不相等的y1＜y2，都有对应的x1＜x2（因为g（x）的y就是f（x）的x；g（x）的x就是f（x）的y）

假设y=g（x）不是单调增函数，即能找到两个不相等的x3＜x4有g（x3）≥g（x4）

如果等号成立，g（x）相同的函数值对应不同的自变量，那么f（x）就会出现同一个自变量对应两个函数值，和函数的定义不符，所以等号不能成立。

如果大于号成立，那么对于g（x4）＜g（x3）这两个函数值，对应的自变量x3＞x4，于前面知道的g（x）对于任意不相等的y1＜y2，都有对应的x1＜x2的性质矛盾

单调函数的反函数是单调的吗

单调函数必有单值反函数;不单调的连续函数没有单值反函数。

单调函数的反函数是否具有相同单调性

谈单调性一般都是在某个区间里来谈的，除非这个函数在整个定义域内都是单调增加或者单调减少（例如一次函数y=ax+b就是在整个定义域内都是单增或者单减）。但绝大多数函数都是在某个区域单增，而在另一个区域又是单减。

“函数与它的反函数有相同的单调性”是指相同的区间，只不过原函数的区间是指其自变量的区间，而反函数的区间虽然也是该反函数的自变量的区间，但它却是原函数的因变量的区间

为什么反函数不是偶函数

大部分偶函数没有反函数，除非有一种特殊情况下存在反函数但是不是偶函数，奇函数的反函数一定是奇函数。

一个函数与其的反函数关于y=x对称。关于偶函数，大部分偶函数不存在反函数，因为偶函数关于Y轴对称，函数中自变量与因变量的对应关系是多对一或者一对一，如果其存在反函数，它的图像关于y=x对称后的图像便会存在一对多的情况，那就不符合函数的定义了。

除非当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数）时，该函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0}。

而对于奇函数而言，奇函数本身关于原点对称，其反函数又关于y=x对称，所以若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

扩展资料

关于反函数的性质有：

1、函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射。

2、一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数。

3、反函数是相互的且具有唯一性。

到此，以上就是小编对于反函数一定单调吗的问题就介绍到这了，希望介绍的5点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。