“函数可积”和“原函数存在”这两者是什么关系,可积与有原函数的关系

1. “函数可积”和“原函数存在”这两者是什么关系
2. 可积一定有定义吗
3. 可积函数必有界吗

“函数可积”和“原函数存在”这两者是什么关系

网上有论文可以参考函数可积：可积性的充分条件：

1，函数在闭区间连续；

2，函数在闭区间上有界且只有有限个间断点；3函数在闭区间上单调；可以看出此三者为并列条件，任何一个都是函数可积的充分条件。原函数存在：原函数存在定理为:若f(x)在[a,b]上连续,则必存在原函数。此条件为充分条件，而非必要条件。即若fx）存在原函数，不能推出f(x)在[a,b]上连续。由于初等函数在有定义的区间上都是连续的，故初等在其定义区间上都有原函数。需要注意的是初等函数的导数是一定是初等函数，初等函数的原函数不一定是初等函数。

可积一定有定义吗

可积函数【不】一定连续,但连续函数【一定】可积!

积分就是函数下面的面积 如果一个函数是连续的 那么它下面的面积一定永远存在

但是通常只要它总是有定义 即使不连续它下面的面积也是存在的

不一定。

可积函数的函数可积的充分条件：函数有界；在该区间上连续；有有限个间断点。

1.如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，我们就说f(x)在[a,b]上可积。即f(x)是[a,b]上的可积函数。函数可以定义在点集上更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效的收敛定理因此勒贝格积分的应用领域更加广泛。

2.设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。设f(x)在区间[a,b]上单调有界，则f(x)在[a,b]上可积。

3.可积和原函数存在完全两个概念。可积但原函数不一定存在，原函数存在不一定可积，二者没有必然关系。可积的充分条件，函数有界；在该区间上连续；有有限个间断点。如果f（x）在【a,b】上的定积分存在，我们就说f（x）在【a,b】上可积。

可积函数必有界吗

闭区间上有限个间断点的有界函数是可积的，但只说闭区间上的有界函数是不一定可积的。

在闭区间上一个单元函数满足后者一定可以推出其也满足前面的系列性质，即闭区间上，从后往前推可以，但从前往后推，未必。具体表现为可导一定连续，可导一定可积，可导一定有界，连续一定可积，连续一定有界，可积一定有界。

可积函数不一定有界。假设这样一个函数f（x）=1（x是有理数的时候）=0（x是无理数的时候）那么f（x）在x为任意实数的时候，只有1和0两种取值，所以f（x）是有界的；但是在任意区间内，都有无数个有理数和无理数。所以f（x）在任意区间内都有无数个间断点，所以这个函数在任意区间内都不可积。

有界函数并不一定是连续的。根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ（D）是一个有上（下）界的数集。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ（x）=sinx所定义的函数f：R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。

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