二元函数极值点怎么求（二元函数极值的判定方法）

1. 二元函数求极值的步骤
2. 二元函数极值的判定方法
3. 求二元一次函数极值的方法

二元函数求极值的步骤

解方程组f,(x,y)=0,f,(x,y)=0求出实数解，得驻点，第二步对于每一个驻点(xo,yo)，求出二阶偏导数的值A、第三步定出AC-B2的符号，再判定是否是极值。

1二元函数定义

设平面点集D包含于R2，若按照某对应法则f，D中每一点P(x,y)都有唯一的实数z与之对应，则称f为在D上的二元函数。且称D为f的定义域，P对应的z为f在点P的函数值，记作z=f(x,y)；全体函数值的集合称为f的值域。

一般来说，二元函数是空间的曲面，如双曲抛物面(马鞍形)z=xy。二元函数可以认为是有两个自变量一个因变量，可以认为是三维的函数，空间函数。

方法如下：

1、先分别求出函数对变量x、y的偏导，如下图所示。

2、联立偏导方程，解出实数解，得驻点及不可导点，如下图所示。

3、判断上述“极值可疑点”是否为极值点，求出函数的二阶偏导，如下图所示。

4、将驻点代入二阶偏导，分别求出二阶偏导的值A、B、C，如下图所示。

5、求出AC-B²的值，判断是否取得极值，取得何种极值，如下图所示。

6、将极值点代入函数，求得函数极值，如下图所示。

二元函数极值的判定方法

判断二元函数极值方法如下：

设：二元函数 f(x,y)的稳定点为：(x0,y0),

即：∂f(x0,y0)/∂x = ∂f(x0,y0)/∂y = 0；

记：：A=∂²f(x0,y0)/∂x²

B=∂²f(x0,y0)/∂x∂y

C=∂²f(x0,y0)/∂y²

∆=AC-B²

如果：∆>0

A0,f(x0,y0) 为极小值；

如果：∆0

求二元一次函数极值的方法

1.二元一次函数极值在对称轴处取得

2。运用导数求极值

类似一元函数， 二元函数的极值与其偏导数密切相关． 以下讨论中， 我们假设在某区域内二元函数的一阶偏导处处存在（即函数曲面处处光滑）． 如果二元函数  在某点  处对  的偏导数都为零， 那么  就叫做函数  的驻点． 根据式 9 ， 驻点处各个方向的方向导数也都为零．

　　 我们先来定义二元函数的极值点， 以驻点为圆心在  平面上作一个圆形区域， 若当半径足够小时，  是该圆形区域的最大值或最小值， 那么该驻点就是极大值点或极小值点． 与一元函数类似， 驻点不一定是极值点． 例如  在坐标原点的两个一阶偏导都为零， 但原点并不是极值点． 为了判断驻点是不是极值点， 也需要用到二阶偏导（假设驻点处的各个二阶偏导都存在）． 如果满足



则驻点是极值点． 如果  和  都大于零1， 则极值为极小值， 若都小于零， 则极值为极大值．

证明

　　 类比一元函数的证明， 要证明二元函数的某点是极值点， 就要证明该点的任意二阶方向导数都大于零或都小于零2． 令某方向为 ， 由式 9 得该方向的方向导数为



我们都知道，二元一次函数的一般表达式为y=Kx+b。要求这个二元一次函数的极值，首先，我们必须知道这个二元一次函数的定义域。假设这个二元一次函数的定义域为≤ax≤b，那么这个二元一次函数的极值分别是:当K<0时，极大值为Ka+c，极小值为Kb十c，当K>0时，极大值为Kb十C，极小值为Ka+C。

到此，以上就是小编对于二元函数极值点怎么求,举例说明的问题就介绍到这了，希望介绍的3点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。