凸矩阵函数（凸函数一定有极小值吗）

1. 如何证明函数是凸函数
2. 凸函数一定有极小值吗
3. 凸函数一定连续吗

如何证明函数是凸函数

对于一元函数f(x),我们可以通过其二阶导数f′′(x) 的符号来判断。如果函数的二阶导数总是非负,即f′′(x)≥0 ,则f(x)是凸函数。

对于多元函数f(X),我们可以通过其Hessian矩阵(Hessian矩阵是由多元函数的二阶导数组成的方阵)的正定性来判断。

凸函数一定有极小值吗

是的，凸函数一定有极小值。凸函数的定义是对于任意两个点，连接它们的线段上的函数值都不大于这两个点对应的函数值的加权平均。这意味着凸函数的曲线是向上凸起的，没有局部最大值。因此，凸函数必定有一个全局最小值，即极小值。这是凸函数的一个重要性质，使得凸优化问题具有良好的性质和解的存在性。

不一定，比如1/x在（0，1）上

. 紧集上的连续严格凸函数是有唯一极值点的。可以用反证法证明，假如x1, x2都是极值点，那么因为严格凸

与x1,x2是极值点矛盾。证毕。2. 开集上的严格凸函数不一定有极值点。比如

通过求二阶导可以验证其在(-∞,0]是凸的，但是不存在极值。3. 有界集上的连续可微函数是一定能通过梯度下降法找到极值点的，因为有如下定理（见, Page 38)："设pk是下降方向（不一定是梯度），ak是步长并满足Wolfe条件，设目标函数f在Rn上有界，且在开集N上连续可微，N是包含{x: f(x)\u0026lt;=f(x0), x0是初始点}的集合，假设▽f在N上Lipschitz连续，那么有"

其中θk是下降方向pk与-▽f的夹角。通过这条定理可以证明，梯度下降法和牛顿法，逆牛顿法都是收敛的。(1) 令pk = -▽f 可推出

，故梯度下降法收敛(2) 令

可推出

，故牛顿法收敛。(3) 令

，其中Bk是对称矩阵，可推出 【多元连续严格凸函数是否存在唯一极值点】

，故拟牛顿法收敛。4. 理论上步长ak应该是计算出来的，在梯度下降法实际应用中通常都是把步长选取一个较小的ak(取大了会震荡)

凸函数一定连续吗

对。 凸函数的性质之一为： 定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。如果C是闭区间，那么f有可能在C的端点不连续。

1. 紧集上的连续严格凸函数是有唯一极值点的。可以用反证法证明，假如x1, x2都是极值点，那么因为严格凸与x1,x2是极值点矛盾。证毕。

2. 开集上的严格凸函数不一定有极值点。比如通过求二阶导可以验证其在(-∞,0]是凸的，但是不存在极值。

3. 有界集上的连续可微函数是一定能通过梯度下降法找到极值点的，因为有如下定理（见[1], Page 38)："设pk是下降方向（不一定是梯度），ak是步长并满足Wolfe条件，设目标函数f在Rn上有界，且在开集N上连续可微，N是包含{x: f(x)<=f(x0), x0是初始点}的集合，假设▽f在N上Lipschitz连续，那么有"其中θk是下降方向pk与-▽f的夹角。

通过这条定理可以证明，梯度下降法和牛顿法，逆牛顿法都是收敛的。

(1) 令pk = -▽f 可推出，故梯度下降法收敛(2) 令可推出，故牛顿法收敛。

(3) 令，其中Bk是对称矩阵，可推出，故拟牛顿法收敛。

4. 理论上步长ak应该是计算出来的，在梯度下降法实际应用中通常都是把步长选取一个较小的ak(取大了会震荡)，是一个折衷的办法，但是实际效果还不错。参考文献[1] Numerical Optimization 2ed. Chapter 3.

到此，以上就是小编对于矩阵的凸性的问题就介绍到这了，希望介绍的3点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。