冲激响应的计算公式,单位阶跃函数是单位冲激函数的导数

1. 冲激响应的计算公式
2. 冲激导函数的性质及证明
3. 冲激偶函数的特解
4. 冲激函数的微分性质
5. 什么是冲激偶函数

冲激响应的计算公式

在连续时间系统中，任一个信号可以分解为具有不同时延的冲激信号的叠加。进行实际分析时，可通过电路分析法求解微分方程或采用解卷积的方法，计算出系统的冲激响应。

计算方法

电路分析法

（1）简单电路，列出微分方程，直接求冲激响应。注意电感电流和电容电压会产生跳变。

（2）最普遍的一种方法，利用三要素法先求出阶跃响应，再对时间求导的冲激响应，即利用下式由电路的阶跃响应计算出电路的冲激响应

h(t)=ds(t)/d(t)

其中，h(t)为冲激响应，s(t)为阶跃响应。

解卷积法

卷积法是线性系统中时域分析最常用的方法之一，它可以求解系统对任意激励信号的零状态响应，在信号理论中占有重要地位。

设有一线性系统，其起始条件为零状态。给该系统输入一个单位冲激信号，可以测得输出信号的时域信息，将单位冲激信号和输出信号进行解卷积，就可以得到系统的单位冲激响应。

冲激导函数的性质及证明

就是稳定性，单一性，证明就是通过，可惜感定律的证明

冲激偶函数的特解

它是一个“面积”等于1的理想化了的窄脉冲。也就是说，这个脉冲的幅度等于它的宽度的倒数。当这个脉冲的宽度愈来愈小时，它的幅度就愈来愈大。当它的宽度按照数学上极限法则趋近于零时，那么它的幅度就趋近于无限大，这样的一个脉冲就是“单位冲激函数”。在实际工程中，像“单位冲激函数”这样的信号是不存在的，至多也就是近似而已。在理论上定义这样一个函数，完全是为了分析研究方便的需要。

冲激函数高阶导数（2阶以上）从-∞到+∞积分都为零。

对于二阶导，原函数是一阶导，在-∞到+∞值都为零，由牛顿莱布尼兹公式，积分为零。

递推得高阶导积分都为0.

冲激函数的微分性质

冲激函数在原点处的导数为无穷大，而在原点以外的点处导数为0。这是因为冲激函数的定义是在原点处为无穷大，在其他点处为0，所以在原点处求导时会得到无穷大。而在其他点处，由于函数值为0，所以导数也为0。这种性质使得冲激函数在物理学和工程学等领域中有很多应用，比如在信号处理中用于模拟突发事件的出现，或者在控制系统中用于描述瞬时的输入或干扰。

对阶跃函数的傅里叶变换利用微分性质乘上jω，含冲激的项就变成了jπωδ(ω)，因为δ对他在0的时候有抽样作用，实际上这个时候这项就变成了0。另一部分乘出来就是1

什么是冲激偶函数

冲激偶函数是当t从负值趋于0时，它是一强度为无限大的正的冲激函数，当t从正值趋于0时，它是一强度为无限大的负的冲激函数。

冲激偶函数是通过对冲激函数求导所得到的。

冲激偶函数的微分（阶跃函数的二阶导数）将呈现正、负极性的一对冲激，成为冲激偶信号，以δ'(t)表示。可以利用规则函数系列取极限的概念引出δ'(t)，此处借助三角形脉冲系列。

三角形脉冲s（t）其底宽为2τ，高度是1/τ，当τ->0时，s（t）成为单位冲激函数δ(t)。

冲激偶函数是奇函数，关于原点对称，在全时域对其积分为零，即正、负两个冲激的面积相互抵消。——《信号与系统（第二版）》

冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大、作用时间极短暂且积分有限的一类理想化数学模型。冲激函数可用于对连续信号进行线性表达，也可用于求解线性非时变系统的零状态响应。

对冲激函数求导可得到冲激偶函数，单位冲激偶是这样的一种函数：当 t从负值趋于0时，它是一个强度为无限大的正的冲激函数，当t从正值趋于0时，它是一个强度为无限大的负的冲激函数。

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