常见不可积函数（常见不可积函数有哪些）

1. 有界函数不一定可积为什么
2. 函数可积一定连续吗

有界函数不一定可积为什么

原因如下：

可以假设这样一个函数

f（x）=1（x是有理数的时候）；=0（x是无理数的时候）

那么f（x）在x为任意实数的时候，只有1和0两种取值，所以f（x）是有界的。

但是在任意区间内（无论是开区间还是闭区间），都有无数个有理数和无理数。所以f（x）在任意区间内斗有无数个间断点，所以这个函数在任意区间内斗不可积。

什么是有界函数：

有界函数是设f(x)是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M称为f(x)在区间E上的上界。

有界函数并不一定是连续的。根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。

函数可积一定连续吗

不一定。

不定积分寻找的是原函数，这个原函数的导数就是被积函数，这个被积函数是不可以出现间断点的。一旦出现了间断点，不定积分将手足无措，无法解决，所以就要求被积函数不可以有任何的间断点。

因为被积函数没有任何间断点，原函数的导函数就等于被积函数，这是不定积分设定的。在这样的情况下的可积函数是指被积函数，积出来的原函数是连续的。

在原函数可导的假设下，它连续是先决条件，连续不一定可导，而可导的函数必须是连续函数。原函数既然可导，那原函数就必须连续，这是可导的必要条件。

扩展资料

原函数存在定理为:

若f(x)在[a,b]上连续,则必存在原函数。此条件为充分条件，而非必要条件。即若fx）存在原函数，不能推出f(x)在[a,b]上连续。由于初等函数在有定义的区间上都是连续的，故初等在其定义区间上都有原函数。需要注意的是初等函数的导数是一定是初等函数，初等函数的原函数不一定是初等函数。

这些基本概念其实也都是从定理推出来，大多数时候理解完死记就好。

到此，以上就是小编对于常见不可积函数有哪些的问题就介绍到这了，希望介绍的2点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。