多元函数泰勒展开式（多元函数泰勒展开式矩阵形式）

1. 复合函数的泰勒展开式如何求?如ln(x+√x)麦克劳林展开到x的三次方
2. 求无穷小和它的阶数时，常用到泰勒展开式，怎么确定展开到几项呢
3. 任何函数都具有泰勒多项式吗

复合函数的泰勒展开式如何求?如ln(x+√x)麦克劳林展开到x的三次方

f(0)=0,一阶导是2x/(1+x²),把0一代，是0，二阶导是[2（1+x²)-4x²]/(1+x²)²=2(1-x²)/(1+x²)²,把x=0代入得2.所以，它的二阶展开式应该是x²+o(x²).

根据等价无穷小，ln(1+x²)确实是等价于x²的。

求无穷小和它的阶数时，常用到泰勒展开式，怎么确定展开到几项呢

可以看它分母为多少，如为n，则展开到第n+1项了 若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式： 其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x0）n的高阶无穷小。

任何函数都具有泰勒多项式吗

不是的。函数有泰勒展开式的必要条件是在展开点附近任意阶可导，充分条件是泰勒公式的余项能趋于零。

不是所有的函数都具有泰勒多项式。泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。

如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。

但是，如果函数在某些点上不光滑，或者不可导，那么泰勒公式就无法使用。

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