幂函数有界性（幂函数有界性讨论）

1. 幂函数是不是有界函数
2. 幂函数周期性和有界性
3. 幂函数的可积性
4. 无穷小乘以有界函数是多少

幂函数是不是有界函数

幂函数除非底数是1或0，那么幂函数就是有界的。当底数是正数，但不等于1的时候，幂函数有下界，无上界，是无界函数。

当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：图像都经过点（1,1）（0,0）；函数的图像在区间[0,+∞）上是增函数。

在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大；α=1时，导数为常数；0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0（函数值递增）。



扩展资料：

α为分数时（且分子为1），α的正负性和分母的奇偶性决定了函数的单调性。

当α>0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递增；

当α>0，分母为奇数时，函数在第一三象限各象限内单调递增；

当α<0，分母为偶数时，函数在第一象限内单调递减；

当α<0，分母为奇数时，函数在第一三象限各象限内单调递减（但不能说在定义域R内单调递减）。

幂函数不是有界函数。

幂函数（power function）是基本初等函数之一。一般地，y=x^α(α为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。

不都是，根据指数而定。如果幂函数的底数是1或者是零，那就是有界函数。当底数为正数且不等于1，幂函数有下界， 没有上界，是无界函数。对于幂函数y＝x^a，a是常数，a的取值不同，函数性质也不同。当a＞0时，函数的图像在【0，∝），是增函数。当a＞1时，导数值增大。当a＝0，导数为常数。

幂函数周期性和有界性

幂函数不可能有周期，有些幂函数是有下界的。幂函数（0，＋∞）上是具有单调性。y＝X＾α当α＞0时幂函数是单调增函数，从而说明函数没有周期及没有下界。α＜0时幂函数是单调减函数但与X轴不相交。周期不存在。若是奇函数则图像关于原点对称也是无下界。只有当幂函数为偶函数时，函数有下界。

幂函数的可积性

幂函数在区间上可积的条件是：如果函数在区间上连续，则函数在该区间上可积。如果函数在区间上只有有限个间断点，且这些间断点上的函数值都是有限值，则函数在该区间上可积。

如果函数在区间上只有有限个不连续点，且这些不连续点上的函数值都是有限值，则函数在该区间上可积。

1、函数有界；2、在该区间上连续；

3、有有限个间断点

幂函数是指函数形式为y=x^a的函数，其中a为实数。对于幂函数的可积性，需要考虑函数的定义域和积分的上下限。
如果幂函数的定义域是有限区间[a, b]，且在该区间上函数有定义，那么幂函数在该区间上是可积的。
如果幂函数的定义域是无限区间，例如[0, +∞)，那么幂函数在该区间上不一定是可积的。
例如，函数y=x^(1/2)在[0, +∞)上是不可积的，因为其定义域不连续。
因此，幂函数的可积性需要根据具体的函数和积分的上下限来判定。

无穷小乘以有界函数是多少

无穷小乘以有界函数是0。 

因为无穷小乘以有界函数等于无穷小。 无穷小量：通常以函数、序列等形式出现。 无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。

1、当自变量x无限接近0时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。

2、无穷小乘有界函数是0，无穷小乘以有界函数等于无穷小。有界函数：设f(x)是区间E上的函数，若对于任意的x属于E，存在常数m、M，使得m≤f(x)≤M，则称f(x)是区间E上的有界函数。其中m称为f(x)在区间E上的下界，M称为f(x)在区间E上的上界。

3、极限的性质：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。

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