凸函数的等价定义（凹函数与凸函数的图象举例）

1. 如何证明一个函数为凸函数，谢谢
2. 凹函数与凸函数的图象举例
3. 函数单调性的三种等价结论

如何证明一个函数为凸函数，谢谢

结论：一个函数为凸函数。
原因：如果一个函数f是凸函数，则对于任意的x1,x2∈[a,b],0≤t≤1，都有f(tx1 +(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)。
凸函数的定义可以参考数学知识书籍或网络资料。
内容延伸：证明一个函数为凸函数的方法有很多，以下是其中一种方法：设f(x)在区间[a,b]上连续且二阶可导，则f(x)为凸函数等价于f''(x)≥0，即f''(x)是非负函数。
可以通过求导证明f''(x)≥0，从而得出结论。

1.凸函数的定义

1.对于一元函数f(x)，如果对于任意tϵ[0,1]均满足：f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)，则称f(x)为凸函数(convex function)

2.如果对于任意tϵ(0,1)均满足：f(tx1+(1−t)x2)<tf(x1)+(1−t)f(x2)，则称f(x)为严格凸函数(convex function)

凹函数与凸函数的图象举例

这几个定义等价，应该结合具体函数来记忆。如 f(x)＝x²，图像上任意两点的连线都在这两点之间图像的上方，因此是凹函数(又叫下凸函数)。同理 f(x)＝ - x² 是凸函数。

一个函数是凹函数，如果它的图像在任何两点之间的部分在这两点之下（或者在这两点处的切线下方）；一个函数是凸函数，如果它的图像在任何两点之间的部分在这两点之上（或者在这两点处的切线上方）。

以下是凹函数和凸函数的图像举例：

凹函数：f(x) = -x∧2一4x

凸函数：f(x) = x^2 - 4x

函数单调性的三种等价结论

一．函数单调性的定义

如果函数f(x)对区间D内的任意x1,x2，当x1＜x2时都有f（x1）＜f（x2），则f（x）在D内是增函数；当x1＜x2时都有f（x1）＞f（x2），则f（x）在D内是减函数。

二．单调性的定义的等价形式

三．判断函数的单调性的方法

1．用定义；

用定义法证明函数单调性的一般步骤：

（1）取值：即设x1,x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2

结论包括：

增函数的定义：对于任意x1 < x2，如果f(x1) < f(x2)，则称函数f在区间(x1, x2)内单调递增。

减函数的定义：对于任意x1 < x2，如果f(x1) > f(x2)，则称函数f在区间(x1, x2)内单调递减。

单调不增（或称上凸）的定义：对于任意x1 < x2，如果f(x1) ≤ f(x2)，则称函数f在区间(x1, x2)内单调不增。

单调不减（或称下凸）的定义：对于任意x1 < x2，如果f(x1) ≥ f(x2)，则称函数f在区间(x1, x2)内单调不减。

这些结论是函数单调性的等价描述，它们在不同的教材或文献中可能会有所不同，但本质上是相同的。

到此，以上就是小编对于凸函数的等价定义证明的问题就介绍到这了，希望介绍的3点解答对大家有用，有任何问题和不懂的，欢迎各位老师在评论区讨论，给我留言。